解説

方針・初手

4つの面はすべて合同な二等辺三角形である。したがって、この四面体は向かい合う辺どうしが等しい形になっている。

まず1つの面の辺の長さを求めると、底辺が $2x$、高さが $1$ なので、等辺の長さは

$$ \sqrt{x^2+1} $$

である。よって四面体の6本の辺は、向かい合う1組が $2x$、残り4本が $\sqrt{x^2+1}$ とみなせる。

この対称性に合わせて座標を置き、体積を $x$ の式で表して最大化する。

解法1

各面は底辺 $2x$、高さ $1$ の二等辺三角形であるから、その3辺の長さは

$$ 2x,\ \sqrt{x^2+1},\ \sqrt{x^2+1} $$

である。

四面体の頂点を $A,B,C,D$ とし、向かい合う2辺を

$$ AB=CD=2x $$

とし、残り4辺を

$$ AC=AD=BC=BD=\sqrt{x^2+1} $$

とする。

この条件を満たすように、座標を

$$ A(-x,0,0),\quad B(x,0,0),\quad C(0,x,h),\quad D(0,-x,h) $$

とおく。

すると

$$ AB=2x,\quad CD=2x $$

であり、また

$$ AC^2=x^2+x^2+h^2=2x^2+h^2 $$

である。一方で $AC=\sqrt{x^2+1}$ であるから、

$$ 2x^2+h^2=x^2+1 $$

すなわち

$$ h^2=1-x^2 $$

となる。よって四面体が実際にできるためには

$$ 0<x<1 $$

であり、そのとき

$$ h=\sqrt{1-x^2} $$

である。

次に体積を求める。ベクトル

$$ \overrightarrow{AB}=(2x,0,0),\quad \overrightarrow{AC}=(x,x,h),\quad \overrightarrow{AD}=(x,-x,h) $$

を用いると、四面体の体積 $V$ は

$$ V=\frac16\left|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\right| $$

である。

ここで

$$ \det \begin{pmatrix} 2x & 0 & 0\\ x & x & h\\ x & -x & h \end{pmatrix} =4x^2h $$

だから、

$$ V=\frac{4x^2h}{6} =\frac{2}{3}x^2\sqrt{1-x^2} $$

となる。

したがって、$0<x<1$ において

$$ V=\frac{2}{3}x^2\sqrt{1-x^2} $$

を最大にすればよい。

ここで $t=x^2$ とおくと $0<t<1$ で、

$$ V=\frac{2}{3}t\sqrt{1-t} $$

である。平方して考えると、

$$ V^2=\frac{4}{9}t^2(1-t) $$

となるので、$t^2(1-t)$ を最大にすればよい。

$f(t)=t^2(1-t)$ とおくと

$$ f'(t)=2t(1-t)-t^2=t(2-3t) $$

であるから、$0<t<1$ で極大となるのは

$$ t=\frac23 $$

のときである。

よって

$$ x^2=\frac23 $$

すなわち

$$ x=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3} $$

のとき体積は最大となる。

その最大値は

$$ V_{\max} =\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \sqrt{1-\frac23} =\frac{4}{9\sqrt3} =\frac{4\sqrt3}{27} $$

である。

解説

4面がすべて合同な四面体では、向かい合う辺が等しくなる。この性質を使うと、辺の長さの対応が整理でき、対称性の高い座標配置が可能になる。

本問では、まず面の辺の長さを

$$ 2x,\ \sqrt{x^2+1},\ \sqrt{x^2+1} $$

と求め、そのあと体積を

$$ V=\frac{2}{3}x^2\sqrt{1-x^2} $$

という1変数関数に落とし込むのが要点である。

また、途中で

$$ h^2=1-x^2 $$

が出るので、四面体が成立する範囲が $0<x<1$ であることも分かる。この条件を落とすと不正確になる。

答え

体積の最大値は

$$ \frac{4\sqrt3}{27} $$

であり、それを与える $x$ は

$$ x=\frac{\sqrt6}{3} $$

である。