解説

方針・初手

交点の $x$ 座標は

$$ f(x)=mx $$

すなわち

$$ 2x^3+x^2-3=mx $$

を満たす実数 $x$ である。

ここで $x=0$ は左辺が $-3$ となって成り立たないので、両辺を $x$ で割って

$$ m=\frac{f(x)}{x}=2x^2+x-\frac{3}{x} $$

とおける。右辺を

$$ g(x)=2x^2+x-\frac{3}{x}\qquad (x\ne0) $$

とおけば、求める条件は「水平線 $y=m$ が曲線 $y=g(x)$ と相異なる $3$ 点で交わること」である。したがって $g(x)$ の増減を調べればよい。

解法1

まず微分すると

$$ g'(x)=4x+1+\frac{3}{x^2} =\frac{4x^3+x^2+3}{x^2} =\frac{(x+1)(4x^2-3x+3)}{x^2} $$

である。

ここで

$$ (-3)^2-4\cdot4\cdot3=9-48=-39<0 $$

より、$4x^2-3x+3>0$ はすべての実数 $x$ で成り立つ。また $x^2>0$ であるから、$g'(x)$ の符号は $x+1$ の符号だけで決まる。したがって、

• $(-\infty,-1)$ で減少
• $(-1,0)$ で増加
• $(0,\infty)$ で増加

する。

さらに、$x=-1$ で

$$ g(-1)=2-1+3=4 $$

である。

また極限は

$$ \lim_{x\to-\infty}g(x)=\infty,\qquad \lim_{x\to0-}g(x)=\infty $$

および

$$ \lim_{x\to0+}g(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to\infty}g(x)=\infty $$

である。

以上より、$y=g(x)$ の概形は次のようになる。

**(i)**

$x<0$ では、$x=-1$ で最小値 $4$ をとる。したがって水平線 $y=m$ との交点は

• $m>4$ のとき $2$ 個
• $m=4$ のとき $1$ 個
• $m<4$ のとき $0$ 個

である。

**(ii)**

$x>0$ では、$g(x)$ は $(-\infty,\infty)$ を単調増加で動くから、任意の実数 $m$ に対して交点はちょうど $1$ 個である。

よって全体として交点が相異なる $3$ 点となるのは、

$$ 2+1=3 $$

となる場合、すなわち

$$ m>4 $$

のときに限る。

解説

この問題は $2x^3+x^2-mx-3=0$ が相異なる $3$ 実根をもつ条件を調べる問題であるが、$m$ が一次で入っているので

$$ m=\frac{f(x)}{x} $$

と直して、$m$ を高さとみなすのが最も見通しがよい。$x=0$ が交点にならないことを先に確認しておくのが重要である。

負の部分では最小値が $4$ になるため、そこを超えたときに初めて負の側で $2$ つの交点が生じる。正の部分では常に $1$ つだけ交点があるので、結局条件は $m>4$ だけである。

答え

$$ m>4 $$