解説

方針・初手

四角形の面積 $S$ は

$$ S=[\triangle ABC]+[\triangle ACD] $$

と分けられる。

ここで $\triangle ABC$ では $AB=BC=1$ かつ $\angle ACB=\theta$ であるから、まず $AC$ を $\theta$ で表す。そのうえで、固定された $AC$ と $CD=1$ をもつ $\triangle ACD$ の面積を、$\angle ACD$ を用いて最大化する。

解法1

**(1)**

$\triangle ABC$ は $AB=BC$ の二等辺三角形であり、$\angle ACB=\theta$ だから

$$ \angle BAC=\theta,\qquad \angle ABC=\pi-2\theta $$

である。

したがって、正弦定理または余弦定理より

$$ AC=2\cos\theta $$

を得る。

いま $\angle ACD=\varphi$ とおくと、$\triangle ACD$ の面積は

$$ [\triangle ACD] =\frac12 \cdot AC \cdot CD \cdot \sin\varphi =\frac12 \cdot 2\cos\theta \cdot 1 \cdot \sin\varphi =\cos\theta\sin\varphi $$

となる。

ここで $\theta$ は固定されているから、$\cos\theta$ は定数である。よって $[\triangle ACD]$ が最大となるのは $\sin\varphi$ が最大となるとき、すなわち

$$ \varphi=\frac{\pi}{2} $$

のときである。

このとき

$$ [\triangle ACD]_{\max}=\cos\theta $$

である。

**(2)(i)**

(1)より、固定した $\theta$ に対して $[\triangle ACD]$ の最大値は $\cos\theta$ である。

一方、

$$ [\triangle ABC] =\frac12 \cdot AC \cdot BC \cdot \sin\theta =\frac12 \cdot 2\cos\theta \cdot 1 \cdot \sin\theta =\sin\theta\cos\theta $$

だから、$S$ の最大値は

$$ S=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta =\cos\theta(1+\sin\theta) $$

を $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ で最大にすればよい。

これを微分する。

$$ S'(\theta) =-\sin\theta(1+\sin\theta)+\cos^2\theta =;1-\sin\theta-2\sin^2\theta $$

したがって

$$ S'(\theta)=0 \iff 2\sin^2\theta+\sin\theta-1=0 \iff (;2\sin\theta-1;)(;\sin\theta+1;)=0 $$

となる。

$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より $\sin\theta>0$ なので

$$ \sin\theta=\frac12 $$

すなわち

$$ \theta=\frac{\pi}{6} $$

のとき極値をとる。

このとき

$$ S_{\max} =\cos\frac{\pi}{6}\left(1+\sin\frac{\pi}{6}\right) =\frac{\sqrt3}{2}\left(1+\frac12\right) =\frac{3\sqrt3}{4} $$

である。

**(2)(ii)**

$S$ が最大となるときは、(i)より

$$ \theta=\frac{\pi}{6} $$

であり、さらに (1) より

$$ \angle ACD=\frac{\pi}{2} $$

である。

まず

$$ AC=2\cos\theta=2\cos\frac{\pi}{6}=\sqrt3 $$

であるから、直角三角形 $\triangle ACD$ において

$$ AD^2=AC^2+CD^2=3+1=4 $$

より

$$ AD=2 $$

を得る。

また、$\triangle ACD$ は $\angle ACD=\dfrac{\pi}{2}$ の直角三角形で、$CD=1,\ AD=2$ だから

$$ \sin\angle CAD=\frac{CD}{AD}=\frac12 $$

より

$$ \angle CAD=\frac{\pi}{6} $$

である。

したがって

$$ \angle BAD=\angle BAC+\angle CAD =\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6} =\frac{\pi}{3} $$

となる。

一方、

$$ \angle BCD=\angle BCA+\angle ACD =\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2} =\frac{2\pi}{3} $$

であるから

$$ \angle BAD+\angle BCD =\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3} =\pi $$

となる。

よって、対角の和が $\pi$ であるから、四角形 $ABCD$ はある円に内接する。

さらに $\angle ACD=\dfrac{\pi}{2}$ であるので、その円において弦 $AD$ は直径である。したがって円の中心は $AD$ の中点であり、半径は

$$ \frac{AD}{2}=1 $$

である。

解説

この問題の本質は、面積を対角線 $AC$ で分けて考えることである。

$\theta$ を固定すると $\triangle ABC$ は完全に決まり、特に $AC=2\cos\theta$ が決まる。すると $\triangle ACD$ は、底辺 $AC$ と辺 $CD=1$ を固定した三角形なので、面積最大条件は「はさむ角が直角」である。

そのあと $S$ を $\theta$ の関数にして最大化すればよい。最大時に $\theta=\dfrac{\pi}{6}$、$\angle ACD=\dfrac{\pi}{2}$ がそろうので、角の和や直角三角形の性質から円に内接すること、さらにその円の直径が $AD$ であることまで一気に分かる。

答え

**(1)**

$$ \angle ACD=\frac{\pi}{2} $$

このとき、$\triangle ACD$ の面積の最大値は

$$ [\triangle ACD]_{\max}=\cos\theta $$

である。

**(2)(i)**

$$ S_{\max}=\frac{3\sqrt3}{4} $$

そのとき

$$ \theta=\frac{\pi}{6} $$

である。

**(2)(ii)**

$S$ が最大のとき、四角形 $ABCD$ はある円に内接する。

その円の中心は $AD$ の中点、半径は

$$ 1 $$

である。