解説

方針・初手

最大値を求めるには微分して増減を調べればよい。

この問題では $0<x<1$ であるから $\log x<0$ が常に成り立つ。この符号を使うと、導関数の符号判定がしやすい。

解法1

$$ f(x)=x(\log x)^2 $$

を微分する。

$$ f'(x)=(\log x)^2+2\log x $$

したがって

$$ f'(x)=\log x(\log x+2) $$

である。

ここで $0<x<1$ より $\log x<0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $\log x+2$ の符号で決まる。

**(i)**

$0<x<e^{-2}$ のとき

$$ \log x<-2 $$

であるから、$\log x<0,\ \log x+2<0$ となる。よって

$$ f'(x)>0 $$

である。

**(ii)**

$e^{-2}<x<1$ のとき

$$ -2<\log x<0 $$

であるから、$\log x<0,\ \log x+2>0$ となる。よって

$$ f'(x)<0 $$

である。

以上より、$f(x)$ は

• $0<x<e^{-2}$ で増加し、
• $e^{-2}<x<1$ で減少する。

したがって最大値は $x=e^{-2}$ のときにとる。

その値は

$$ f(e^{-2})=e^{-2}\left(\log e^{-2}\right)^2 =e^{-2}\cdot (-2)^2 =\frac{4}{e^2} $$

である。

解法2

$t=\log x$ とおくと、$0<x<1$ より $t<0$ であり、$x=e^t$ である。

したがって

$$ f(x)=x(\log x)^2=e^t t^2 $$

となる。これを

$$ g(t)=e^t t^2 \qquad (t<0) $$

とおくと、

$$ g'(t)=e^t(t^2+2t)=e^t t(t+2) $$

である。

$e^t>0$ だから、$g'(t)=0$ となるのは

$$ t=0,\ -2 $$

であるが、定義域は $t<0$ なので候補は $t=-2$ のみである。

さらに

• $t<-2$ では $t<0,\ t+2<0$ より $g'(t)>0$
• $-2<t<0$ では $t<0,\ t+2>0$ より $g'(t)<0$

となるので、$t=-2$ で最大となる。

ゆえに

$$ x=e^{-2} $$

のとき最大で、その最大値は

$$ e^{-2}\cdot (-2)^2=\frac{4}{e^2} $$

である。

解説

この問題の要点は、$\log x$ をひとつの文字とみて整理することである。

直接微分してもよいし、$t=\log x$ とおいて指数関数の最大値問題に直してもよい。どちらの方法でも、極値を与える条件が $\log x=-2$ になることが本質である。

また、$0<x<1$ から $\log x<0$ が成り立つため、導関数の符号判定が非常に簡単になる。

答え

最大値は

$$ \frac{4}{e^2} $$

であり、そのとき

$$ x=e^{-2} $$

である。