解説

方針・初手

面積は

$$ S=\frac12 ,AB\cdot AC\cdot \sin A $$

であるから，$AB=x$ とおいたら，$AC$ を $x$ で表せばよい。

周の長さが $2$ であることから $BC$ も $x,AC$ で表せるので，余弦定理を用いて $AC$ を決める。

解法1

$AC=y$ とおく。すると，周の長さが $2$ であるから

$$ BC=2-x-y $$

である。

また，$\cos A=\dfrac79$ であるから，余弦定理より

$$ (2-x-y)^2=x^2+y^2-2xy\cdot \frac79 $$

これを整理すると

$$ 4-4x-4y+2xy+\frac{14}{9}xy=0 $$

すなわち

$$ 36-36x-36y+32xy=0 $$

したがって

$$ y(32x-36)=36(x-1) $$

となるので，

$$ y=\frac{36(x-1)}{32x-36}=\frac{9(1-x)}{9-8x} $$

を得る。

次に，$\cos A=\dfrac79$ より

$$ \sin A=\sqrt{1-\left(\frac79\right)^2} =\sqrt{\frac{32}{81}} =\frac{4\sqrt2}{9} $$

であるから，面積 $S$ は

$$ S=\frac12 \cdot x\cdot y\cdot \sin A $$

より

$$ S=\frac12 \cdot x\cdot \frac{9(1-x)}{9-8x}\cdot \frac{4\sqrt2}{9} =\frac{2\sqrt2,x(1-x)}{9-8x} $$

となる。これで （1） が求まる。

次に，

$$ f(x)=\frac{x(1-x)}{9-8x} $$

とおけば

$$ S=2\sqrt2,f(x) $$

であるから，$f(x)$ の最大値を調べればよい。

微分すると

$$ f'(x)=\frac{(1-2x)(9-8x)+8(x-x^2)}{(9-8x)^2} =\frac{8x^2-18x+9}{(9-8x)^2} =\frac{(4x-3)(2x-3)}{(9-8x)^2} $$

ここで $0<x<1$ なので，$2x-3<0$ は常に成り立つ。よって $f'(x)$ の符号は $4x-3$ により決まり，

**(i)**

$0<x<\dfrac34$ のとき $f'(x)>0$

**(ii)**

$\dfrac34<x<1$ のとき $f'(x)<0$

である。

したがって，$f(x)$ は $x=\dfrac34$ のとき最大となる。

そのとき

$$ f\left(\frac34\right) =\frac{\frac34\cdot \frac14}{9-6} =\frac{3/16}{3} =\frac1{16} $$

ゆえに

$$ S_{\max}=2\sqrt2\cdot \frac1{16} =\frac{\sqrt2}{8} $$

である。

解説

面積公式 $S=\dfrac12 bc\sin A$ を使うために，$AB=x$ とおいたあと，もう一方の辺 $AC$ を $x$ で表すのが核心である。周長一定より $BC$ も $x,AC$ で表せるから，余弦定理で $AC$ を求められる。

その後は $S$ を $x$ の1変数関数にして微分すればよい。定数 $2\sqrt2$ は最大値の位置に影響しないので，$\dfrac{x(1-x)}{9-8x}$ だけを見れば十分である。

答え

**(1)**

$$ S=\frac{2\sqrt2,x(1-x)}{9-8x} $$

**(2)**

$$ S_{\max}=\frac{\sqrt2}{8} $$