解説

方針・初手

最大値を求めるので、まず微分して増減を調べるのが基本である。

この関数は

$$ f(x)=\frac{3x+4}{x^2+1} $$

であり、分母 $x^2+1$ は常に正であるから、微分したあとの符号判定も行いやすい。

解法1

$f(x)$ を微分すると、

$$ f'(x)=\frac{3(x^2+1)-(3x+4)\cdot 2x}{(x^2+1)^2} $$

である。分子を整理して、

$$ \begin{aligned} f'(x) &=\frac{3x^2+3-6x^2-8x}{(x^2+1)^2} \\ &=\frac{-3x^2-8x+3}{(x^2+1)^2} \\ &=\frac{-(3x-1)(x+3)}{(x^2+1)^2} \end{aligned} $$

となる。

ここで $(x^2+1)^2>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は

$$ -(3x-1)(x+3) $$

の符号で決まる。

臨界点は

$$ (3x-1)(x+3)=0 $$

より、

$$ x=-3,\ \frac13 $$

である。

符号を調べると、

• $x<-3$ では $f'(x)<0$
• $-3<x<\dfrac13$ では $f'(x)>0$
• $x>\dfrac13$ では $f'(x)<0$

となる。したがって、$f(x)$ は $x=\dfrac13$ のとき最大となる。

そのときの値は

$$ f\left(\frac13\right) =\frac{3\cdot \frac13+4}{\left(\frac13\right)^2+1} =\frac{1+4}{\frac19+1} =\frac{5}{\frac{10}{9}} =\frac92 $$

である。

よって、最大値は $\dfrac92$ である。

解法2

最大値を $y$ とおき、

$$ y=\frac{3x+4}{x^2+1} $$

とする。これを $x$ について整理すると、

$$ yx^2-3x+(y-4)=0 $$

となる。

この方程式が実数解 $x$ をもつためには、判別式 $D$ が $0$ 以上でなければならない。したがって、

$$ \begin{aligned} D &=(-3)^2-4y(y-4) \\ &=9-4y^2+16y \geq 0 \end{aligned} $$

である。

これを整理すると、

$$ 4y^2-16y-9 \leq 0 $$

となる。これを解くと、

$$ (2y-9)(2y+1)\leq 0 $$

より、

$$ -\frac12 \leq y \leq \frac92 $$

である。

したがって、$f(x)$ の最大値は $\dfrac92$ である。

さらに最大値 $\dfrac92$ をとるのは、判別式が $0$ のときであるから、

$$ y=\frac92 $$

を

$$ yx^2-3x+(y-4)=0 $$

に代入すると、

$$ \frac92 x^2-3x+\frac12=0 $$

すなわち

$$ 9x^2-6x+1=0 $$

であり、

$$ (3x-1)^2=0 $$

より

$$ x=\frac13 $$

である。

解説

この問題は、分数関数の最大値を求める典型問題である。

最も素直なのは微分による増減の確認であり、極値を与える $x$ を直接求められる。一方、別解のように $y=\dfrac{3x+4}{x^2+1}$ とおいて判別式を使うと、値域を一気に求めることもできる。入試ではこちらも頻出である。

特に、分母 $x^2+1$ が常に正であることに気づけば、微分後の符号判定が簡潔になる。

答え

$$ \text{[ア]}=\frac13,\qquad \text{[イ]}=\frac92 $$