解説

方針・初手

点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とおくと、$P=(t,\ t-\log t)\ (0<t<1)$ と表せる。

接線と法線の $y$ 軸との交点 $Q,\ R$ の $y$ 座標を $t$ で表せば、$QR$ は $t$ の関数になる。これを 1 変数の最小値問題に帰着させればよい。

解法1

$P=(t,\ t-\log t)\ (0<t<1)$ とおく。

曲線

$$ y=x-\log x $$

の導関数は

$$ y'=1-\frac{1}{x} $$

であるから、点 $P$ における接線の傾きは

$$ 1-\frac{1}{t}=\frac{t-1}{t} $$

である。

したがって、接線の方程式は

$$ y-(t-\log t)=\frac{t-1}{t}(x-t) $$

となる。これと $y$ 軸、すなわち $x=0$ との交点を $Q$ とすると、

$$ y_Q=t-\log t+\frac{t-1}{t}(0-t) =t-\log t-(t-1) =1-\log t $$

である。

次に、法線の傾きは

$$ -\frac{1}{(t-1)/t}=\frac{t}{1-t} $$

であるから、法線の方程式は

$$ y-(t-\log t)=\frac{t}{1-t}(x-t) $$

となる。これと $y$ 軸との交点を $R$ とすると、

$$ y_R=t-\log t+\frac{t}{1-t}(0-t) =t-\log t-\frac{t^2}{1-t} $$

である。

よって、$Q,\ R$ はともに $y$ 軸上の点なので、

$$ QR=|y_Q-y_R| $$

である。実際に計算すると

$$ \begin{aligned} QR &= \left(1-\log t\right)-\left(t-\log t-\frac{t^2}{1-t}\right) \\ &=1-t+\frac{t^2}{1-t} \\ &=\frac{(1-t)^2+t^2}{1-t} \\ &=\frac{2t^2-2t+1}{1-t}. \end{aligned} $$

ここで

$$ u=1-t \qquad (0<u<1) $$

とおくと、

$$ \begin{aligned} QR &=\frac{2(1-u)^2-2(1-u)+1}{u} \\ &=2u-2+\frac{1}{u}. \end{aligned} $$

したがって、

$$ \frac{d}{du}(QR)=2-\frac{1}{u^2}. $$

これが $0$ となるのは

$$ 2-\frac{1}{u^2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad u=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

のときである。

さらに、

• $0<u<\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ では $\dfrac{d}{du}(QR)<0$
• $\dfrac{1}{\sqrt{2}}<u<1$ では $\dfrac{d}{du}(QR)>0$

であるから、$u=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のとき最小となる。

よって最小値は

$$ QR_{\min} =2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}-2+\sqrt{2} =2\sqrt{2}-2. $$

解法2

解法1と同様に

$$ QR=2u-2+\frac{1}{u} \qquad (0<u<1) $$

まで変形する。

ここで、$u>0$ だから相加相乗平均より

$$ 2u+\frac{1}{u} =\sqrt{2}\left(\sqrt{2}u+\frac{1}{\sqrt{2}u}\right) \ge \sqrt{2}\cdot 2 =2\sqrt{2} $$

となる。

したがって、

$$ QR=2u-2+\frac{1}{u}\ge 2\sqrt{2}-2. $$

等号成立条件は

$$ \sqrt{2}u=\frac{1}{\sqrt{2}u} $$

すなわち

$$ u=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

のときである。

よって、やはり

$$ QR_{\min}=2\sqrt{2}-2 $$

である。

解説

点 $Q,\ R$ はともに $y$ 軸上にあるので、結局は接線・法線の $y$ 切片を求めればよい。そこから $QR$ を $t$ の式に落とし込み、$u=1-t$ とおくと非常に扱いやすい形

$$ 2u-2+\frac{1}{u} $$

になる。

この問題の要点は、接線と法線を別々に丁寧に式で表し、長さを 1 変数関数に直すことである。最小値は微分でも相加相乗平均でも処理できる。

答え

線分 $QR$ の長さの最小値は

$$ 2\sqrt{2}-2 $$

である。