解説

方針・初手

左辺と右辺をそのまま比べるより、$f(x)=\log x-\dfrac{1}{x}$ とおいて考えるのが自然である。

この関数が $x>0$ で単調増加であることを示せば、方程式 $\log x=\dfrac{1}{x}$ の解は高々1個であることが分かる。あとは実際に解が存在することを、$x=1,2$ での値を調べて示せばよい。

解法1

$$ f(x)=\log x-\frac{1}{x}\qquad (x>0) $$

とおく。

まず導関数を求めると、

$$ f'(x)=\frac{1}{x\ln 10}+\frac{1}{x^2} $$

である。

ここで $x>0$ であるから、

$$ \frac{1}{x\ln 10}>0,\qquad \frac{1}{x^2}>0 $$

より、

$$ f'(x)>0\qquad (x>0) $$

となる。したがって、$f(x)$ は $x>0$ で単調増加である。

よって、方程式

$$ \log x=\frac{1}{x} $$

すなわち

$$ f(x)=0 $$

は、$x>0$ において高々1個しか解をもたない。

次に、解が実際に存在することを示す。

$$ f(1)=\log 1-\frac{1}{1}=0-1=-1<0 $$

また、問題文の条件 $\log 2>\dfrac{1}{2}$ を用いると、

$$ f(2)=\log 2-\frac{1}{2}>0 $$

となる。

$f(x)$ は $x>0$ で連続であるから、中間値の定理により

$$ f(x)=0 $$

をみたす $x$ が $1<x<2$ に少なくとも1つ存在する。

しかも、すでに $f(x)$ は単調増加であるから、そのような解はただ1つしか存在しない。

したがって、方程式 $\log x=\dfrac{1}{x}$ は $x>0$ において、ただ1つの解をもつ。

解説

この問題の要点は、「両辺の交点の個数」を「関数の零点の個数」に言い換えることである。

$f(x)=\log x-\dfrac{1}{x}$ とまとめると、導関数が常に正であるため単調増加となり、解の個数を一気に絞れる。さらに、$x=1,2$ で符号が変わることから解の存在も確認できる。存在と一意性を分けて示すのが基本である。

答え

方程式 $\log x=\dfrac{1}{x}$ は、$x>0$ においてただ1つの解をもつ。

その解は $1<x<2$ に存在する。