解説

方針・初手

最大値を求める問題であるから、導関数を求めて増減を調べるのが基本である。区間が $0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ と閉区間で与えられているので、極値候補と両端の値を比較すればよい。

解法1

$$ y=\sin 2x-x $$

とおく。

まず微分すると、

$$ y'=2\cos 2x-1 $$

である。

したがって、極値の候補は

$$ 2\cos 2x-1=0 $$

すなわち

$$ \cos 2x=\frac{1}{2} $$

を満たす $x$ である。

ここで $0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ であるから、

$$ 0 \leqq 2x \leqq \pi $$

となる。この範囲で $\cos 2x=\dfrac{1}{2}$ を満たすのは

$$ 2x=\frac{\pi}{3} $$

のみであるから、

$$ x=\frac{\pi}{6} $$

である。

次に、$y'$ の符号を調べる。

**(i)**

$0 \leqq x < \dfrac{\pi}{6}$ のときは $0 \leqq 2x < \dfrac{\pi}{3}$ であるから、

$$ \cos 2x>\frac{1}{2} $$

よって

$$ y'=2\cos 2x-1>0 $$

となる。

**(ii)**

$\dfrac{\pi}{6} < x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ のときは $\dfrac{\pi}{3}<2x\leqq \pi$ であるから、

$$ \cos 2x<\frac{1}{2} $$

よって

$$ y'=2\cos 2x-1<0 $$

となる。

したがって、$y$ は

• $0 \leqq x < \dfrac{\pi}{6}$ で増加し、
• $\dfrac{\pi}{6} < x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ で減少する。

ゆえに最大値は $x=\dfrac{\pi}{6}$ のときにとる。

その値は

$$ y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6} $$

である。

解説

この問題では、三角関数を含む最大値の問題であっても、まず微分して増減を調べるのが最も素直である。特に閉区間上の最大値・最小値では、導関数が $0$ となる点だけでなく、区間の端も含めて考える必要がある。

また、$\cos 2x=\dfrac{1}{2}$ を解くときは、いきなり一般解を書くよりも、$2x$ の範囲が $0 \leqq 2x \leqq \pi$ であることを先に確認すると、該当する解を確実に絞れる。

答え

最大値は

$$ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6} $$

であり、これは

$$ x=\frac{\pi}{6} $$

のときにとる。