解説

方針・初手

左辺を

$$ f(x)=(x^2+2x-2)e^{-x} $$

とおくと，方程式は

$$ f(x)=-a $$

と書ける。したがって，$y=f(x)$ のグラフと水平線 $y=-a$ の交点の個数を調べればよい。

そのために，まず $f(x)$ の増減と極値を調べる。

解法1

$f(x)=(x^2+2x-2)e^{-x}$ を微分すると，

$$ \begin{aligned} f'(x) &=(2x+2)e^{-x}-(x^2+2x-2)e^{-x} \\ &=e^{-x}{(2x+2)-(x^2+2x-2)} \\ &=e^{-x}(4-x^2) \end{aligned} $$

となる。

ここで $e^{-x}>0$ であるから，$f'(x)$ の符号は $4-x^2$ の符号で決まる。よって，

• $x<-2$ で $f'(x)<0$
• $-2<x<2$ で $f'(x)>0$
• $x>2$ で $f'(x)<0$

である。したがって，$f(x)$ は

• $(-\infty,-2)$ で減少
• $(-2,2)$ で増加
• $(2,\infty)$ で減少

する。

次に極値を求める。

$$ f(-2)=((-2)^2+2(-2)-2)e^{2}=(-2)e^2=-2e^2 $$

$$ f(2)=(2^2+2\cdot2-2)e^{-2}=6e^{-2}=\frac{6}{e^2} $$

よって，$x=-2$ で極小値 $-2e^2$，$x=2$ で極大値 $\dfrac{6}{e^2}$ をとる。

さらに両端での様子を調べる。

$x\to\infty$ のとき，問題文の条件より

$$ \frac{x^2}{e^x}\to0 $$

であるから，

$$ f(x)=\frac{x^2+2x-2}{e^x}\to0 $$

となる。

また，$x\to-\infty$ のときは $-x\to\infty$ とおけば，

$$ f(x)=(x^2+2x-2)e^{-x} $$

は $e^{-x}$ が無限大に発散するので，

$$ f(x)\to\infty $$

となる。

以上より，$y=f(x)$ の概形は次のようになる。

• $x\to-\infty$ で $f(x)\to\infty$
• $x=-2$ で極小値 $-2e^2$
• $x=2$ で極大値 $\dfrac{6}{e^2}$
• $x\to\infty$ で $f(x)\to0$

したがって，水平線 $y=-a$ との交点の個数は，$-a$ の値によって次のように決まる。

**(i)**

$-a<-2e^2$，すなわち $a>2e^2$ のとき 交点はないので，実数解は $0$ 個。

**(ii)**

$-a=-2e^2$，すなわち $a=2e^2$ のとき $x=-2$ で接するので，実数解は $1$ 個。

**(iii)**

$-2e^2<-a<0$，すなわち $0<a<2e^2$ のとき 左側と中央で $2$ 個の交点をもつので，実数解は $2$ 個。

**(iv)**

$-a=0$，すなわち $a=0$ のとき $f(x)=0$ だから，

$$ x^2+2x-2=0 $$

より，

$$ x=-1\pm\sqrt{3} $$

となり，実数解は $2$ 個。

**(v)**

$0<-a<\dfrac{6}{e^2}$，すなわち $-\dfrac{6}{e^2}<a<0$ のとき 左側・中央・右側でそれぞれ $1$ 個ずつ交点をもつので，実数解は $3$ 個。

**(vi)**

$-a=\dfrac{6}{e^2}$，すなわち $a=-\dfrac{6}{e^2}$ のとき $x=2$ で接し，さらに左側に $1$ 個あるので，実数解は $2$ 個。

**(vii)**

$-a>\dfrac{6}{e^2}$，すなわち $a<-\dfrac{6}{e^2}$ のとき 左側でのみ $1$ 個の交点をもつので，実数解は $1$ 個。

解説

この問題の本質は，方程式をそのまま解こうとするのではなく，

$$ f(x)=(x^2+2x-2)e^{-x} $$

という関数のグラフと水平線 $y=-a$ の交点問題に直すことである。

特に，

$$ f'(x)=e^{-x}(4-x^2) $$

となって増減が非常に簡単に決まる点が重要である。極値 $f(-2)=-2e^2,\ f(2)=\dfrac{6}{e^2}$ を押さえ，さらに $x\to\pm\infty$ での振る舞いを確認すれば，実数解の個数は図形的に一気に判定できる。

答え

方程式

$$ (x^2+2x-2)e^{-x}+a=0 $$

の異なる実数解の個数は，$a$ の値によって次の通りである。

$$ \begin{cases} 0\text{個} & (a>2e^2),\\ 1\text{個} & (a=2e^2\ \text{または}\ a<-\dfrac{6}{e^2}),\\ 2\text{個} & (a=-\dfrac{6}{e^2}\ \text{または}\ 0\le a<2e^2),\\ 3\text{個} & \left(-\dfrac{6}{e^2}<a<0\right). \end{cases} $$