解説

方針・初手

直線 $y=x,\ y=-x,\ y=kx$ を順に曲線

$$ 5x^2+5y^2+lxy-4x-4y=0 $$

へ代入して調べる。

特に $y=kx$ の場合は、原点 $(0,0)$ が常に交点になるので、残り1つの交点がきちんと存在する条件を係数から判定すればよい。

$l=-6$ のときの距離の最大値は、そのまま式で処理してもよいが、座標変換をすると図形が見やすくなる。

解法1

まず $l=0$ のとき、曲線 $P$ は

$$ 5x^2+5y^2-4x-4y=0 $$

である。

1. 直線 $y=x$ との交点

$y=x$ を代入すると

$$ 5x^2+5x^2-4x-4x=0 $$

すなわち

$$ 10x^2-8x=0 $$

となるから、

$$ 2x(5x-4)=0 $$

より

$$ x=0,\ \frac45 $$

である。したがって交点は

$$ (0,0),\ \left(\frac45,\frac45\right) $$

である。

2. 直線 $y=-x$ との交点

$y=-x$ を代入すると

$$ 5x^2+5x^2-lx^2-4x+4x=0 $$

より

$$ (10-l)x^2=0 $$

となる。したがって、どの実数 $l$ に対しても少なくとも

$$ (0,0) $$

を通る。

よって空欄は $(0,0)$ である。

3. 任意の $k\neq -1$ に対して、直線 $y=kx$ が $P$ と2点で交わるための $l$ の範囲

$y=kx$ を代入すると

$$ 5x^2+5k^2x^2+lkx^2-4x-4kx=0 $$

すなわち

$$ x\bigl((5k^2+lk+5)x-4(1+k)\bigr)=0 $$

となる。

ここで $k\neq -1$ なので $1+k\neq 0$ である。したがって、常に1つの交点 $(0,0)$ があり、これと異なるもう1つの交点が存在するためには

$$ 5k^2+lk+5\neq 0 $$

がすべての $k\neq -1$ で成り立てばよい。

つまり、二次式

$$ 5k^2+lk+5 $$

が実数解をもたないか、実数解をもつとしてもそれが $k=-1$ のみであればよい。

判別式は

$$ \Delta=l^2-100 $$

であるから、

**(i)**

$\Delta<0$ のとき

$$ l^2-100<0 $$

より

$$ -10<l<10 $$

である。

**(ii)**

$\Delta=0$ のとき

$$ l=\pm 10 $$

である。このうち

$$ l=10 $$

なら

$$ 5k^2+10k+5=5(k+1)^2 $$

となり、$0$ になるのは $k=-1$ のときだけなので条件を満たす。

一方、

$$ l=-10 $$

なら

$$ 5k^2-10k+5=5(k-1)^2 $$

となり、$k=1$ で $0$ になるので条件を満たさない。

以上より求める範囲は

$$ -10<l\leqq 10 $$

である。

4. $l=-6$ のとき、2交点間の距離の最大値

$l=-6$ とすると、曲線 $P$ は

$$ 5x^2+5y^2-6xy-4x-4y=0 $$

である。

ここで

$$ u=x+y,\quad v=x-y $$

とおくと、

$$ x=\frac{u+v}{2},\quad y=\frac{u-v}{2} $$

であり、

$$ 5x^2+5y^2-6xy=u^2+4v^2,\qquad -4x-4y=-4u $$

だから、曲線 $P$ は

$$ u^2+4v^2-4u=0 $$

すなわち

$$ (u-2)^2+4v^2=4 $$

となる。

これは中心 $(2,0)$、長半径 $2$、短半径 $1$ の楕円である。

原点 $(0,0)$ はこの楕円上にあり、直線 $y=kx$ は原点を通るので、求める距離は原点から楕円上のもう1つの交点までの距離に等しい。

楕円を

$$ u=2+2\cos\theta,\qquad v=\sin\theta $$

と表すと、原点からの距離 $d$ は

$$ d^2=x^2+y^2=\frac{u^2+v^2}{2} $$

より

$$ d^2=\frac{(2+2\cos\theta)^2+\sin^2\theta}{2} =\frac{5+8\cos\theta+3\cos^2\theta}{2} $$

となる。

これは $\cos\theta\in[-1,1]$ に対して、最大値を $\cos\theta=1$ のときにとる。よって

$$ u=4,\quad v=0 $$

であり、これを $(x,y)$ に戻すと

$$ x=y=2 $$

だから、そのときの直線は

$$ y=x $$

すなわち

$$ k=1 $$

である。

また最大距離は

$$ d=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2 $$

となる。

解説

直線 $y=kx$ を代入すると、方程式が必ず $x$ を因数にもつ。これは曲線 $P$ が常に原点を通ることを表している。

したがって「2点で交わる」条件は、残りの1点が消えないこと、すなわち $5k^2+lk+5\neq 0$ をどう全ての $k\neq -1$ で保証するかに帰着する。この見方が本問の中心である。

最後の距離最大は、$l=-6$ のときに二次形式がきれいに整理できるので、$u=x+y,\ v=x-y$ とおくのが有効である。楕円に直してしまえば、最遠点はすぐ判定できる。

答え

$$ (\text{ア},\text{イ})=(0,0),\quad \left(\frac{\text{ウ}}{\text{エ}},\frac{\text{オ}}{\text{カ}}\right)=\left(\frac45,\frac45\right) $$

$$ (\text{キ},\text{ク})=(0,0) $$

$$ -10<l\leqq 10 $$

したがって

$$ \text{ケ}=1,\ \text{コ}=0,\ \text{サ}=1,\ \text{シ}=0 $$

また、

$$ \text{ス}=1,\qquad \text{セ}=2 $$

である。