解説

方針・初手

最大値・最小値を求めるので、まず導関数を求めて増減を調べる。 閉区間 $0\leqq x\leqq \pi$ 上の問題であるから、極値を与える候補は

• 導関数が $0$ になる点
• 端点 $x=0,\ \pi$

である。

解法1

$$ f(x)=x-\sin 2x $$

より、導関数は

$$ f'(x)=1-2\cos 2x $$

である。

したがって、$f'(x)=0$ は

$$ 1-2\cos 2x=0 $$

$$ \cos 2x=\frac12 $$

を意味する。 ここで $0\leqq x\leqq \pi$ だから $0\leqq 2x\leqq 2\pi$ であり、

$$ 2x=\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3} $$

より

$$ x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6} $$

を得る。

次に $f'(x)$ の符号を調べる。

**(i)**

$0\leqq x<\dfrac{\pi}{6}$ のとき $0\leqq 2x<\dfrac{\pi}{3}$ であるから $\cos 2x>\dfrac12$ となり、

$$ f'(x)=1-2\cos 2x<0 $$

である。

**(ii)**

$\dfrac{\pi}{6}<x<\dfrac{5\pi}{6}$ のとき $\dfrac{\pi}{3}<2x<\dfrac{5\pi}{3}$ であるから $\cos 2x<\dfrac12$ となり、

$$ f'(x)=1-2\cos 2x>0 $$

である。

**(iii)**

$\dfrac{5\pi}{6}<x\leqq \pi$ のとき $\dfrac{5\pi}{3}<2x\leqq 2\pi$ であるから $\cos 2x>\dfrac12$ となり、

$$ f'(x)=1-2\cos 2x<0 $$

である。

よって、$f(x)$ は

• $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{6}$ で減少
• $\dfrac{\pi}{6}\leqq x\leqq \dfrac{5\pi}{6}$ で増加
• $\dfrac{5\pi}{6}\leqq x\leqq \pi$ で減少

する。

したがって、最小値は $x=\dfrac{\pi}{6}$ のとき、最大値は $x=\dfrac{5\pi}{6}$ のときにとる。

実際に値を計算すると、

$$ f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{3} =\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{2} =\frac{\pi-3\sqrt3}{6} $$

$$ f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}-\sin\frac{5\pi}{3} =\frac{5\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{2} =\frac{5\pi+3\sqrt3}{6} $$

である。

解説

この問題では、$\sin 2x$ を含む関数でも、最大最小は微分して増減を調べればそのまま処理できる。 $f'(x)=1-2\cos 2x$ と変形できるので、結局は $\cos 2x=\dfrac12$ を解く問題になる。

閉区間の最大最小では、極値を与える候補が「導関数が $0$ となる点」と「端点」であることを落とさないことが重要である。 今回は増減がはっきり出るので、$x=\dfrac{\pi}{6}$ が最小、$x=\dfrac{5\pi}{6}$ が最大と判断できる。

答え

最大値は

$$ \frac{5\pi+3\sqrt3}{6} $$

最小値は

$$ \frac{\pi-3\sqrt3}{6} $$

である。