解説

方針・初手

$x$ についての方程式

$$ x+c=ke^{x^2} $$

は

$$ (x+c)e^{-x^2}=k $$

と書き直せるので，まず関数

$$ f(x)=(x+c)e^{-x^2} $$

そのものを調べればよい。

与えられた「$x=1$ で極値をとる」という条件から $c$ を決め，その後に増減と値域を求めれば，最後の方程式の実数解条件は $f(x)=k$ の解の存在条件として処理できる。

解法1

まず微分する。

$$ f'(x)=e^{-x^2}+(x+c)(-2x)e^{-x^2} =e^{-x^2}{1-2x(x+c)} $$

である。

（1） 定数 $c$ の値

$x=1$ で極値をとるので，$f'(1)=0$ である。したがって

$$ e^{-1}{1-2\cdot 1\cdot (1+c)}=0 $$

より

$$ 1-2(1+c)=0 $$

すなわち

$$ -1-2c=0 $$

となるから，

$$ c=-\frac12 $$

である。

（2） 関数 $f(x)$ の増減

（1） より

$$ f(x)=\left(x-\frac12\right)e^{-x^2} $$

である。これを微分すると

$$ f'(x)=e^{-x^2}\left\{1-2x\left(x-\frac12\right)\right\} =e^{-x^2}(1+x-2x^2) $$

となる。

ここで

$$ 1+x-2x^2=-(2x+1)(x-1) $$

であるから，

$$ f'(x)=-e^{-x^2}(2x+1)(x-1) $$

である。$e^{-x^2}>0$ なので，$f'(x)$ の符号は $-(2x+1)(x-1)$ の符号で決まる。

したがって，

• $x<-\dfrac12$ のとき　$f'(x)<0$
• $-\dfrac12<x<1$ のとき　$f'(x)>0$
• $x>1$ のとき　$f'(x)<0$

である。

よって，$f(x)$ は

• $(-\infty,-\dfrac12)$ で減少
• $(-\dfrac12,1)$ で増加
• $(1,\infty)$ で減少

する。

さらに極値は

$$ f\left(-\frac12\right)=\left(-\frac12-\frac12\right)e^{-1/4}=-e^{-1/4} $$

$$ f(1)=\left(1-\frac12\right)e^{-1}=\frac{1}{2e} $$

である。

また，題意より

$$ \lim_{x\to\pm\infty}xe^{-x^2}=0 $$

であり，定数倍の $e^{-x^2}$ も $0$ に近づくから，

$$ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 $$

である。

（3） 方程式 $x+c=ke^{x^2}$ が実数解をもつような $k$ の範囲

（1） より $c=-\dfrac12$ であるから，方程式は

$$ x-\frac12=ke^{x^2} $$

である。両辺に $e^{-x^2}$ をかけると

$$ \left(x-\frac12\right)e^{-x^2}=k $$

すなわち

$$ f(x)=k $$

である。

したがって，この方程式が実数解をもつための必要十分条件は，$k$ が関数 $f(x)$ の値域に属することである。

（2） で求めた増減と極値より，$f(x)$ の最小値は $-e^{-1/4}$，最大値は $\dfrac{1}{2e}$ である。よって値域は

$$ -e^{-1/4}\leqq f(x)\leqq \frac{1}{2e} $$

である。

したがって求める $k$ の範囲は

$$ -e^{-1/4}\leqq k\leqq \frac{1}{2e} $$

である。

解説

この問題の中心は，**方程式をそのまま解こうとせず，関数 $f(x)=(x+c)e^{-x^2}$ の値域の問題に直すこと**である。

（1） では「極値をとる」という条件から微分係数が $0$ になることを用いるだけで $c$ が決まる。

（2） では指数関数部分 $e^{-x^2}$ は常に正なので，導関数の符号判定は多項式部分だけを見ればよい。この処理により増減が素直に決まる。

（3） は $x+c=ke^{x^2}$ を直接扱うと見通しが悪いが，$f(x)=k$ とみなせば，結局はグラフと水平線 $y=k$ の共有点の有無を調べていることになる。したがって，最大値・最小値を押さえれば即座に結論できる。

答え

**(1)**

$$ c=-\frac12 $$

**(2)**

$f(x)=\left(x-\dfrac12\right)e^{-x^2}$ は

$(-\infty,-\dfrac12)$ で減少

$(-\dfrac12,1)$ で増加

$(1,\infty)$ で減少

する。

また，

$$ f\left(-\frac12\right)=-e^{-1/4},\qquad f(1)=\frac{1}{2e} $$

である。

**(3)**

方程式 $x+c=ke^{x^2}$ が実数解をもつのは

$$ -e^{-1/4}\leqq k\leqq \frac{1}{2e} $$

のときである。