解説

方針・初手

対角線 $AC$ を引くと、四角形 $ABCD$ の面積 $S$ は $\triangle ABC$ と $\triangle ACD$ の面積の和になる。

したがって、まずそれぞれの三角形の面積を $x=AC$、さらに $t=x^2$ を用いて表す。三角形の面積はヘロンの公式で処理すると、$t$ の式に直しやすい。

解法1

四角形のすべての内角が $180^\circ$ 未満であるから、$ABCD$ は凸四角形であり、

$$ S=[ABC]+[ACD] $$

である。

まず $\triangle ABC$ を考える。辺の長さは $1,2,x$ であるから、ヘロンの公式より

$$ [ABC] =\frac14\sqrt{(1+2+x)(-1+2+x)(1-2+x)(1+2-x)} $$

$$ =\frac14\sqrt{(x+3)(x+1)(x-1)(3-x)} =\frac14\sqrt{(x^2-1)(9-x^2)}. $$

$t=x^2$ とおけば

$$ [ABC]=\frac14\sqrt{(t-1)(9-t)}. $$

同様に、$\triangle ACD$ の辺の長さは $3,4,x$ であるから

$$ [ACD] =\frac14\sqrt{(3+4+x)(-3+4+x)(3-4+x)(3+4-x)} $$

$$ =\frac14\sqrt{(x+7)(x+1)(x-1)(7-x)} =\frac14\sqrt{(x^2-1)(49-x^2)} =\frac14\sqrt{(t-1)(49-t)}. $$

よって

$$ S=\frac14\left(\sqrt{(t-1)(9-t)}+\sqrt{(t-1)(49-t)}\right). $$

したがって、

$$ [\text{ア}] =\frac14\left(\sqrt{(t-1)(9-t)}+\sqrt{(t-1)(49-t)}\right) $$

である。

次に、この $S$ を最大にする $t$ を求める。

$\triangle ABC$ が存在するためには

$$ 1<x<3 $$

であるから、

$$ 1<t<9 $$

である。

ここで $S$ を $t$ で微分すると

$$ \begin{aligned} S'(t) &= \frac{(\sqrt{9-t}+\sqrt{49-t})\left(\sqrt{(9-t)(49-t)}-(t-1)\right)} {8\sqrt{t-1}\sqrt{9-t}\sqrt{49-t}} \end{aligned} $$

となる。

$1<t<9$ では分母は正であり、$\sqrt{9-t}+\sqrt{49-t}>0$ でもある。したがって、$S'(t)$ の符号は

$$ \sqrt{(9-t)(49-t)}-(t-1) $$

の符号で決まる。

$1<t<9$ では両辺とも正なので、これが $0$ となる条件は両辺を二乗してよい。すると

$$ (9-t)(49-t)=(t-1)^2 $$

$$ 441-58t+t^2=t^2-2t+1 $$

$$ 440=56t $$

$$ t=\frac{55}{7}. $$

さらに

$$ (9-t)(49-t)-(t-1)^2 =56\left(\frac{55}{7}-t\right) $$

であるから、

**(i)**

$1<t<\dfrac{55}{7}$ では $S'(t)>0$

**(ii)**

$\dfrac{55}{7}<t<9$ では $S'(t)<0$

となる。よって $S$ は

$$ t=\frac{55}{7} $$

のとき最大となる。

解法2

面積最大の条件だけなら、円に内接する場合を用いてもよい。

四角形の辺の長さが固定されているとき、凸四角形の面積は円に内接するとき最大である。したがって、最大となるとき $ABCD$ は円に内接し、対角の和が

$$ \angle ABC+\angle ADC=180^\circ $$

を満たす。

ここで余弦定理を $\triangle ABC,\triangle ADC$ に用いると

$$ \cos\angle ABC=\frac{1^2+2^2-x^2}{2\cdot1\cdot2} =\frac{5-x^2}{4}, $$

$$ \cos\angle ADC=\frac{3^2+4^2-x^2}{2\cdot3\cdot4} =\frac{25-x^2}{24}. $$

また、$\angle ADC=180^\circ-\angle ABC$ であるから

$$ \cos\angle ADC=-\cos\angle ABC $$

である。よって

$$ \frac{25-x^2}{24}=-\frac{5-x^2}{4} $$

$$ 25-x^2=-30+6x^2 $$

$$ 55=7x^2 $$

$$ x^2=\frac{55}{7}. $$

したがって、やはり

$$ t=x^2=\frac{55}{7} $$

のとき面積は最大となる。

解説

この問題の要点は、四角形の面積を対角線で分けた 2 つの三角形の面積の和として見ることである。

そのうえで、各三角形の面積をヘロンの公式で $t=x^2$ の式に直せば、面積を 1 変数関数として扱える。微分して最大値を求めるのが素直な解法である。

一方で、辺の長さが固定された凸四角形の面積は円に内接するとき最大になる、という事実を使うと、最大条件の $t$ はかなり短く求められる。

答え

$$ \begin{aligned} [\text{ア}] &= \frac14\left(\sqrt{(t-1)(9-t)}+\sqrt{(t-1)(49-t)}\right) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} [\text{イ}] &= \frac{55}{7} \end{aligned} $$

したがって、面積 $S$ は

$$ t=x^2=\frac{55}{7} $$

のとき最大となる。