解説

方針・初手

まず連続関数

$$ f(x)=(N-x)\log x \qquad (1\le x\le N) $$

を微分して，凹凸と増減を調べる。

数列 $a_n=n^{N-n}$ については

$$ \log a_n=(N-n)\log n=f(n) $$

であるから，$a_n$ の大小関係は $f(n)$ の大小関係と一致する。したがって，(1) で得られる $f$ の増減を用いれば，(2)(3) は整数点 $n=1,2,\dots,N$ での値の比較に帰着できる。

以下，対数の底は自然対数としてよい。底を変えても正の定数倍になるだけで，大小関係や極値の位置は変わらない。

解法1

**(1)**

$$ f(x)=(N-x)\log x $$

を微分すると，

$$ f'(x)=\frac{N}{x}-\log x-1 $$

であり，さらに

$$ f''(x)=-\frac{N}{x^2}-\frac{1}{x} =-\frac{N+x}{x^2} $$

となる。

$1\le x\le N$ では $x>0,\ N+x>0$ であるから，

$$ f''(x)<0 $$

が成り立つ。よって曲線 $y=f(x)$ は区間 $1\le x\le N$ で上に凸である。

次に，$f''(x)<0$ より $f'(x)$ は区間 $[1,N]$ で単調減少する。端点での値は

$$ f'(1)=N-1>0, \qquad f'(N)=1-\log N-1=-\log N<0 $$

である。

したがって，中間値の定理により，あるただ1つの $c\in(1,N)$ が存在して

$$ f'(c)=0 $$

となる。しかも $f'(x)$ は単調減少であるから，

• $1\le x<c$ では $f'(x)>0$
• $c<x\le N$ では $f'(x)<0$

となる。よって $f(x)$ は $x=c$ で増加から減少に変わるので，極大値をただ1つだけもつ。

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**(2)**

各 $n=1,2,\dots,N$ について

$$ \log a_n=\log\bigl(n^{N-n}\bigr)=(N-n)\log n=f(n) $$

である。対数関数は単調増加であるから，$a_n$ の大小は $f(n)$ の大小と一致する。

(1) より，$f(x)$ はただ1つの点 $x=c$ で極大となり，

• $[1,c]$ で増加
• $[c,N]$ で減少

する。

したがって，整数列

$$ f(1),f(2),\dots,f(N) $$

は途中までは増加し，その後は減少する形になる。よって最大値をとる整数点は，高々 $c$ をはさむ2つの整数

$$ \lfloor c\rfloor,\ \lceil c\rceil $$

に限られる。

ゆえに，$a_1,a_2,\dots,a_N$ のうち最大値 $M$ をとる項の個数 $k$ は

$$ k\le 2 $$

である。

---

**(3)**

(2) より $k\le2$ であり，しかも最大値を2回とるなら，それは隣り合う2項でなければならない。したがって $k=2$ なら，ある整数 $m\ (1\le m\le N-1)$ が存在して

$$ a_m=a_{m+1}=M $$

となる。

定義より

$$ m^{N-m}=(m+1)^{N-(m+1)}=(m+1)^{N-m-1} $$

である。

ここで $\gcd(m,m+1)=1$ であるから，左辺の素因数は $m$ の素因数のみ，右辺の素因数は $m+1$ の素因数のみに限られる。したがって，この2つの正整数が等しいためには，両辺とも $1$ であるしかない。

よって

$$ m^{N-m}=1, \qquad (m+1)^{N-m-1}=1 $$

である。

ところが $m+1\ge2$ であるから，右辺が $1$ となるには

$$ N-m-1=0 $$

でなければならない。すると左辺は

$$ m^{N-m}=m^1=m $$

となるので，これが $1$ であるためには

$$ m=1 $$

である。したがって

$$ N=m+1=2 $$

を得る。

逆に $N=2$ のときは

$$ a_1=1^{1}=1,\qquad a_2=2^0=1 $$

であり，最大値は $1$ で，それをとる項は2個ある。すなわち $k=2$ である。

以上より，$k=2$ となるのは $N=2$ のときに限る。

解説

この問題の核心は，離散的な数列 $a_n=n^{N-n}$ を，連続関数

$$ f(x)=(N-x)\log x $$

でとらえることである。

$a_n$ 自体を直接比較するのは扱いにくいが，対数をとると

$$ \log a_n=f(n) $$

となり，微分による増減の議論がそのまま使える。 (1) で $f$ が上に凸で極大を1つしかもたないことを示せば，整数点で見たときの最大値も高々2か所にしか現れないことが自然に分かる。

(3) では，最大値を2回とるとすれば隣り合う2項が等しいことに注目し，最後は

$$ m^{N-m}=(m+1)^{N-m-1} $$

という等式を，連続する整数の互いに素であることを使って一気にしぼるのが要点である。

答え

**(1)**

$f''(x)=-\dfrac{N+x}{x^2}<0$ であるから，曲線 $y=f(x)$ は $1\le x\le N$ で上に凸である。また $f'(x)$ は単調減少し，$f'(1)>0,\ f'(N)<0$ より，$f(x)$ はただ1つの極大値をもつ。

**(2)**

$\log a_n=f(n)$ より，$a_n$ の大小は $f(n)$ の大小と一致する。(1) で $f$ は1点で極大をとり，その前後で増加・減少するから，最大値をとる整数 $n$ は高々2個である。したがって $k\le2$。

**(3)**

$k=2$ なら，ある $m$ に対して $a_m=a_{m+1}$ である。すなわち

$$ m^{N-m}=(m+1)^{N-m-1} $$

である。$\gcd(m,m+1)=1$ より両辺はともに $1$ でなければならず，そこから $m=1,\ N=2$ を得る。逆に $N=2$ では $a_1=a_2=1$ で $k=2$。

ゆえに，$k=2$ となるのは $N=2$ のときに限る。