解説

方針・初手

放物線 $y=x^2$ 上の2点を

$$ P(a,a^2),\quad Q(b,b^2) $$

とおく。

すると、線分 $PQ$ の傾きは

$$ m=\frac{b^2-a^2}{b-a}=a+b $$

となり、長さ $L$ も $a-b$ と $m$ を用いて表せる。 また、中点の $y$ 座標 $h$ は $\dfrac{a^2+b^2}{2}$ であるから、$a+b,\ a-b$ で書き直すのが自然である。

解法1

$P(a,a^2),\ Q(b,b^2)$ とする。

中点の $y$ 座標 $h$ は

$$ h=\frac{a^2+b^2}{2} $$

である。

まず、傾き $m$ は

$$ m=\frac{b^2-a^2}{b-a}=a+b $$

である。

次に、線分 $PQ$ の長さ $L$ について、

$$ L^2=(b-a)^2+(b^2-a^2)^2 $$

であり、$b^2-a^2=(b-a)(a+b)$ を用いると

$$ L^2=(b-a)^2{1+(a+b)^2} $$

となる。ここで $a+b=m$ だから、

$$ L^2=(b-a)^2(1+m^2) $$

すなわち

$$ (a-b)^2=\frac{L^2}{1+m^2} $$

を得る。

一方、

$$ a^2+b^2=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2} $$

より、

$$ h=\frac{a^2+b^2}{2} =\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{4} $$

となる。ここに $a+b=m$ と $(a-b)^2=\dfrac{L^2}{1+m^2}$ を代入すれば、

$$ h=\frac{1}{4}\left(m^2+\frac{L^2}{1+m^2}\right) $$

である。これが （1） の答えである。

次に （2） を考える。$L$ を固定すると、

$$ h=\frac{1}{4}\left(m^2+\frac{L^2}{1+m^2}\right) $$

であるから、

$$ t=1+m^2 \quad (t\geqq 1) $$

とおくと

$$ h=\frac{1}{4}\left(t-1+\frac{L^2}{t}\right) =\frac{1}{4}\left(t+\frac{L^2}{t}-1\right) $$

となる。

したがって、$h$ を最小にするには

$$ f(t)=t+\frac{L^2}{t}\qquad (t\geqq 1) $$

を最小にすればよい。

（i） $L\geqq 1$ のとき

相加平均と相乗平均の関係より

$$ t+\frac{L^2}{t}\geqq 2L $$

であり、等号は $t=L$ のとき成立する。$L\geqq 1$ だから $t=L$ は許される。

よって

$$ h_{\min}=\frac{1}{4}(2L-1) $$

である。

（ii） $0<L\leqq 1$ のとき

$f'(t)=1-\dfrac{L^2}{t^2}$ である。$t\geqq 1$ かつ $L\leqq 1$ なので

$$ t^2\geqq 1\geqq L^2 $$

より $f'(t)\geqq 0$ である。したがって $f(t)$ は $t\geqq 1$ で増加し、最小値は $t=1$ でとる。

よって

$$ h_{\min}=\frac{1}{4}(1+L^2-1)=\frac{L^2}{4} $$

である。

以上より、$h$ の最小値は

$$ h_{\min}= \begin{cases} \dfrac{L^2}{4} & (0<L\leqq 1),\\[1ex] \dfrac{2L-1}{4} & (L\geqq 1) \end{cases} $$

となる。

解説

この問題の要点は、放物線上の2点を $P(a,a^2),Q(b,b^2)$ とおいたとき、傾きが $a+b$ になることである。これにより、$a+b$ と $a-b$ に注目すると、長さ $L$ と中点の座標がきれいに整理できる。

特に

$$ a^2+b^2=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2} $$

という変形が本質であり、ここから $h$ を $L,m$ で表せる。

（2） では、$m$ を直接動かすよりも $t=1+m^2$ と置き直すと、最小化が標準的な形

$$ t+\frac{L^2}{t} $$

に帰着する。ここで、$t\geqq 1$ という制約があるため、$L\leqq 1$ の場合は境界値 $t=1$ を調べる必要がある点が重要である。

答え

**(1)**

$$ h=\frac{1}{4}\left(m^2+\frac{L^2}{1+m^2}\right) $$

**(2)**

$$ h_{\min}= \begin{cases} \dfrac{L^2}{4} & (0<L\leqq 1),\\[1ex] \dfrac{2L-1}{4} & (L\geqq 1) \end{cases} $$