解説

方針・初手

$E$ を原点、直線 $AC$ を $x$ 軸にとる。すると、$\triangle ABE,\ \triangle CDE$ が正三角形であることから、各点の座標を具体的に置ける。

そのうえで、まず $BC$ を座標で求める。次に、$\angle BAC=60^\circ$ であることを用いて、半径 $1$ の円の弦 $BC$ の長さを別の方法で求めれば、$a,b$ の間の基本関係式が得られる。以後はその関係式のもとで最大・最小を調べればよい。

解法1

$E=(0,0)$、$A=(-a,0)$、$C=(b,0)$ とおく。

$\triangle ABE$ は一辺 $a$ の正三角形、$\triangle CDE$ は一辺 $b$ の正三角形であり、しかも $BD$ は $E$ で交わるので、座標は

$$ B=\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a\right),\qquad D=\left(\frac{b}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}b\right) $$

とおける。

（1） 線分 $BC$ の長さ

距離の公式より、

$$ \begin{aligned} BC^2 &=\left(b+\frac{a}{2}\right)^2+\left(0-\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 \\ &=b^2+ab+\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4} \\ &=a^2+ab+b^2 \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ BC=\sqrt{a^2+ab+b^2} $$

となる。

一方、$A,E,C$ は一直線上にあり、$\triangle ABE$ は正三角形であるから

$$ \angle BAC=\angle BAE=60^\circ $$

である。

半径 $1$ の円において、弦 $BC$ は円周角 $60^\circ$ に対する弦であるから、

$$ BC=2\cdot 1\cdot \sin 60^\circ=\sqrt{3} $$

となる。

よって

$$ a^2+ab+b^2=3 $$

が成り立つ。

（2） $\dfrac{b}{a}=t$ とするとき、$a$ を $t$ で表す

$b=ta$ を上の関係式に代入すると、

$$ a^2+a(ta)+(ta)^2=3 $$

すなわち

$$ a^2(1+t+t^2)=3 $$

である。$a>0$ より、

$$ a=\sqrt{\frac{3}{1+t+t^2}} $$

となる。

（3） $a+b$ が最大となるときの $t$ の値と、そのときの $a+b$ の値

$s=a+b$ とおくと、

$$ a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab=s^2-ab=3 $$

である。

ここで

$$ ab\le \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{s^2}{4} $$

より、

$$ 3=s^2-ab\ge s^2-\frac{s^2}{4}=\frac{3}{4}s^2 $$

したがって

$$ s^2\le 4 $$

であるから、

$$ a+b=s\le 2 $$

となる。

等号成立は

$$ ab=\frac{(a+b)^2}{4} $$

すなわち $a=b$ のときである。このとき

$$ t=\frac{b}{a}=1 $$

であり、さらに $a=b$ を $a^2+ab+b^2=3$ に代入すると

$$ 3a^2=3 $$

より $a=b=1$ である。よって最大値は

$$ a+b=2 $$

である。

（4） $\triangle ABE$ と $\triangle CDE$ の面積の和の最小値と、そのときの $t$ の値

正三角形の面積より、

$$ \text{面積}(\triangle ABE)=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2,\qquad \text{面積}(\triangle CDE)=\frac{\sqrt{3}}{4}b^2 $$

である。よって面積の和 $S$ は

$$ S=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+b^2) $$

となる。

ここで

$$ a^2+ab+b^2=3 $$

より

$$ a^2+b^2=3-ab $$

だから、

$$ S=\frac{\sqrt{3}}{4}(3-ab) $$

となる。したがって $S$ を最小にするには $ab$ を最大にすればよい。

また、

$$ a^2+ab+b^2\ge 3ab $$

より

$$ 3\ge 3ab $$

すなわち

$$ ab\le 1 $$

である。等号成立は $a=b$ のときである。したがって $t=1$ のとき面積の和は最小となる。

このとき $a=b=1$ であるから、

$$ S=\frac{\sqrt{3}}{4}(1^2+1^2)=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

となる。

解説

この問題の本質は、座標を置いて $a,b$ の関係式を一つ作ることである。正三角形という条件から $B,D$ の座標はすぐ決まり、$BC$ は容易に計算できる。

そのうえで、$BC$ は同時に「半径 $1$ の円の弦」でもある。しかも $\angle BAC=60^\circ$ なので、弦の長さが $\sqrt{3}$ と一発で定まる。この一致から

$$ a^2+ab+b^2=3 $$

が得られ、以後の最大・最小は単なる式処理に帰着する。

（3） も （4） も、結局は $a=b$ の対称な場合で極値をとる。対称条件のある最大最小では、まず $a=b$ を疑うのが基本である。

答え

**(1)**

$$ BC=\sqrt{3} $$

**(2)**

$$ a=\sqrt{\frac{3}{1+t+t^2}} $$

**(3)**

$$ t=1,\qquad a+b=2 $$

**(4)**

面積の和の最小値は

$$ \frac{\sqrt{3}}{2} $$

であり、そのとき

$$ t=1 $$

である。