基礎問題集
数学3 微分法「最大最小・解の個数」の問題42 解説
数学3の微分法「最大最小・解の個数」にある問題42の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
面積条件は、$\triangle APQ$ と $\triangle ABC$ がともに $\angle A$ をはさむ2辺で表せることを使うとすぐに整理できる。
また、$PQ$ は $\triangle APQ$ に余弦定理を用いれば $x,y$ で表せる。（2） で得た関係式を代入して1変数の最大最小に直せばよい。
解法1
まず、$\angle A=\angle BAC$ とする。
（1） $\cos A$ の値
$\triangle ABC$ に余弦定理を用いると、
$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A $$
であるから、
$$ 4^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cos A $$
すなわち、
$$ 16=4+9-12\cos A $$
より、
$$ -12\cos A=3 $$
したがって、
$$ \cos A=-\frac14 $$
となる。
（2） $\triangle APQ$ の面積が $\triangle ABC$ の面積の $\dfrac12$ 倍になるときの $x,y$ の関係式
$AP=x,\ AQ=y$ であり、$\angle PAQ=\angle A$ であるから、
$$ S_{APQ}=\frac12xy\sin A $$
また、
$$ S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\sin A =\frac12\cdot2\cdot3\sin A =3\sin A $$
条件より、
$$ S_{APQ}=\frac12 S_{ABC} $$
なので、
$$ \frac12xy\sin A=\frac12\cdot 3\sin A $$
三角形の内角であるから $\sin A>0$ であり、両辺を $\dfrac12\sin A$ で割ると、
$$ xy=3 $$
を得る。
（3） （2） のときの $PQ$ の最大値・最小値
$\triangle APQ$ に余弦定理を用いると、
$$ PQ^2=x^2+y^2-2xy\cos A $$
（1） より $\cos A=-\dfrac14$ だから、
$$ PQ^2=x^2+y^2+\frac12xy $$
さらに （2） より $xy=3$ であるから、
$$ PQ^2=x^2+y^2+\frac32 $$
ここで $y=\dfrac3x$ とおくと、
$$ PQ^2=x^2+\frac{9}{x^2}+\frac32 $$
となる。
また、$P$ は辺 $AB$ 上を動くので $0\le x\le2$、$Q$ は辺 $AC$ 上を動くので $0\le y\le3$ である。 しかも $xy=3$ だから $x>0,\ y>0$ であり、$y=\dfrac3x\le3$ より $x\ge1$ である。したがって、
$$ 1\le x\le2 $$
の範囲で
$$ f(x)=x^2+\frac{9}{x^2}+\frac32 $$
の最大最小を調べればよい。
微分すると、
$$ f'(x)=2x-\frac{18}{x^3} =\frac{2(x^4-9)}{x^3} $$
よって、
$$ f'(x)=0 \iff x^4=9 \iff x=\sqrt3 $$
である。$\sqrt3$ は区間 $[1,2]$ に含まれる。
さらに、
$$ f''(x)=2+\frac{54}{x^4}>0 $$
であるから、$x=\sqrt3$ で最小となる。
したがって、
$$ f(\sqrt3)=3+\frac{9}{3}+\frac32=\frac{15}{2} $$
より、
$$ PQ_{\min}=\sqrt{\frac{15}{2}}=\frac{\sqrt{30}}{2} $$
一方、最大値は端点で比較すればよい。
$x=1$ のとき $y=3$ で、
$$ PQ^2=1+9+\frac32=\frac{23}{2} $$
したがって、
$$ PQ=\sqrt{\frac{23}{2}}=\frac{\sqrt{46}}{2} $$
$x=2$ のとき $y=\dfrac32$ で、
$$ PQ^2=4+\frac94+\frac32=\frac{31}{4} $$
したがって、
$$ PQ=\frac{\sqrt{31}}{2} $$
よって最大値は
$$ PQ_{\max}=\frac{\sqrt{46}}{2} $$
である。
解説
面積条件では、どちらの三角形も $\angle A$ をはさむ2辺で面積を表せるため、$\sin A$ が共通因子として消え、すぐに $xy=3$ が出る。ここがこの問題の中心である。
その後は $\triangle APQ$ に余弦定理を使って $PQ$ を $x,y$ で表し、$xy=3$ を代入して1変数化するのが自然である。範囲 $1\le x\le2$ をきちんと確認することも重要である。
答え
**(1)**
$$ \cos A=-\frac14 $$
**(2)**
$$ xy=3 $$
**(3)**
$$ PQ_{\max}=\frac{\sqrt{46}}{2},\qquad PQ_{\min}=\frac{\sqrt{30}}{2} $$