解説

方針・初手

内接円が辺 $BC,CA,AB$ に接する点をそれぞれ $P,Q,R$ とし、

$$ AP=AR=x,\quad BP=BR=y,\quad CQ=CP=z $$

とおく。

内心を $I$ とすると、$IR\perp AB,\ IQ\perp AC,\ IP\perp BC$ であり、内接円の半径が $1$ だから

$$ \tan\frac{A}{2}=\frac{IR}{AR}=\frac{1}{x},\quad \tan\frac{B}{2}=\frac{IP}{BP}=\frac{1}{y},\quad \tan\frac{C}{2}=\frac{IQ}{CQ}=\frac{1}{z} $$

となる。

また、三角形の半周長を $s$、面積を $S$ とすると $S=rs=s$ であり、

$$ s=(x+y)+(y+z)+(z+x)\div 2=x+y+z $$

より

$$ S=x+y+z $$

である。したがって、角の条件を $x,y,z$ の条件に直し、$x+y+z$ を最小化すればよい。

解法1

**(1)**

$u=\dfrac{A}{2},\ v=\dfrac{B}{2},\ w=\dfrac{C}{2}$ とおくと

$$ u+v+w=\frac{\pi}{2} $$

である。ここで

$$ \tan u=\alpha,\quad \tan v=\beta,\quad \tan w=\gamma $$

だから、加法定理より

$$ \begin{aligned} \tan(u+v+w) &= \frac{\alpha+\beta+\gamma-\alpha\beta\gamma}{1-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha} \end{aligned} $$

となる。

左辺は $\tan\dfrac{\pi}{2}$ で定義されないので、分母が $0$ でなければならない。よって

$$ 1-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha=0 $$

すなわち

$$ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=1 $$

である。したがって

$$ \gamma(\alpha+\beta)=1-\alpha\beta $$

より

$$ \gamma=\frac{1-\alpha\beta}{\alpha+\beta} $$

となる。

**(2)**

前述の $x,y,z$ を用いると

$$ \alpha=\frac{1}{x},\quad \beta=\frac{1}{y},\quad \gamma=\frac{1}{z} $$

である。(1) で得た

$$ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=1 $$

に代入すると

$$ \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1 $$

となる。両辺に $xyz$ を掛けて

$$ x+y+z=xyz $$

を得る。

いま $\tan\dfrac{C}{2}=t$ であるから

$$ \frac{1}{z}=t,\quad z=\frac{1}{t} $$

である。これを上の関係式に代入すると

$$ x+y+\frac{1}{t}=\frac{xy}{t} $$

すなわち

$$ xy-tx-ty=1 $$

であるから

$$ (x-t)(y-t)=t^2+1 $$

となる。

ここで $x,y>0$ であり、上式から $x-t,\ y-t$ はともに正である。したがって、相加相乗平均より

$$ (x-t)+(y-t)\geqq 2\sqrt{(x-t)(y-t)}=2\sqrt{t^2+1} $$

であるから

$$ x+y\geqq 2t+2\sqrt{t^2+1} $$

を得る。

面積 $S$ は

$$ S=x+y+z=x+y+\frac{1}{t} $$

だから

$$ S\geqq 2t+2\sqrt{t^2+1}+\frac{1}{t} $$

となる。

等号成立は

$$ x-t=y-t=\sqrt{t^2+1} $$

すなわち

$$ x=y=t+\sqrt{t^2+1} $$

のときである。よって、$\tan\dfrac{C}{2}=t$ を満たす三角形の面積の最小値は

$$ 2t+2\sqrt{t^2+1}+\frac{1}{t} $$

である。

**(3)**

再び

$$ S=x+y+z $$

かつ

$$ x+y+z=xyz $$

であるから

$$ S=xyz $$

でもある。よって相加相乗平均より

$$ S=x+y+z\geqq 3\sqrt[3]{xyz}=3\sqrt[3]{S} $$

となる。

$S>0$ なので、両辺を整理すると

$$ S^{2/3}\geqq 3 $$

すなわち

$$ S\geqq 3\sqrt{3} $$

を得る。

等号成立は

$$ x=y=z $$

のときである。このとき

$$ 3x=x^3 $$

より $x=\sqrt{3}$ であり、

$$ \tan\frac{A}{2}=\tan\frac{B}{2}=\tan\frac{C}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

だから

$$ A=B=C=\frac{\pi}{3} $$

となる。したがって最小は正三角形のときに達せられる。

解説

この問題の要点は、内接円の接点までの長さ $x,y,z$ を導入することである。半角の正接が $\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}$ となり、さらに面積がそのまま $x+y+z$ になるため、図形の問題が代数的な最小化問題に変わる。

（2） では $z=\dfrac{1}{t}$ を固定して $(x-t)(y-t)=t^2+1$ を作れば、相加相乗平均で直ちに最小値が出る。

（3） では $x+y+z=xyz$ と $S=x+y+z$ を組み合わせて $S=xyz$ も得られるので、相加相乗平均を一度使うだけで全体の最小値が求まる。最小形が正三角形になることも自然に分かる。

答え

**(1)**

$$ \gamma=\frac{1-\alpha\beta}{\alpha+\beta} $$

**(2)**

$$ 2t+2\sqrt{t^2+1}+\frac{1}{t} $$

**(3)**

$$ 3\sqrt{3} $$

である。