解説

方針・初手

分母 $t^2+1$ は常に正であるから、まず分子

$$ at^2+2bt+c $$

の符号を調べればよい。

そのうえで、最小値については、定数 $\lambda$ に対して

$$ f(t)\ge \lambda $$

がすべての実数 $t$ で成り立つ条件を調べる。これにより、最小値そのものも具体的に求まる。

解法1

**(1)**

$f(t)>0$ であることを示す。

分子を平方完成すると、

$$ at^2+2bt+c = a\left(t+\frac{b}{a}\right)^2 + c-\frac{b^2}{a} = a\left(t+\frac{b}{a}\right)^2 + \frac{ac-b^2}{a} $$

である。

ここで $a>0$ かつ $b^2-ac<0$ より

$$ ac-b^2>0 $$

であるから、

$$ at^2+2bt+c>0 $$

がすべての実数 $t$ に対して成り立つ。さらに $t^2+1>0$ であるから、

$$ f(t)=\frac{at^2+2bt+c}{t^2+1}>0 $$

となる。

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（2） 関数 $f(t)$ は最小値をもつことを示す。

実数 $\lambda$ に対し、

$$ f(t)-\lambda =\frac{(a-\lambda)t^2+2bt+(c-\lambda)}{t^2+1} $$

である。したがって、すべての実数 $t$ に対して $f(t)\ge \lambda$ が成り立つための必要十分条件は、

$$ (a-\lambda)t^2+2bt+(c-\lambda)\ge 0 $$

がすべての実数 $t$ に対して成り立つことである。

2次式がすべての実数 $t$ で非負となるためには、

$$ a-\lambda>0 $$

かつ判別式が $0$ 以下、すなわち

$$ (2b)^2-4(a-\lambda)(c-\lambda)\le 0 $$

であればよい。これは

$$ b^2-(a-\lambda)(c-\lambda)\le 0 $$

すなわち

$$ \lambda^2-(a+c)\lambda+(ac-b^2)\ge 0 $$

と同値である。

この2次方程式

$$ \lambda^2-(a+c)\lambda+(ac-b^2)=0 $$

の2つの解は

$$ \frac{a+c\pm \sqrt{(a-c)^2+4b^2}}{2} $$

である。小さい方の解を

$$ m=\frac{a+c-\sqrt{(a-c)^2+4b^2}}{2} $$

とおく。

大きい方の解は

$$ \frac{a+c+\sqrt{(a-c)^2+4b^2}}{2}

>

\frac{a+c+|a-c|}{2} =\max{a,c}\ge a $$

であるから、条件 $a-\lambda>0$ を満たしつつ取りうる最大の $\lambda$ は $m$ である。よって

$$ f(t)\ge m $$

がすべての実数 $t$ に対して成り立つ。

さらに $\lambda=m$ のときは

$$ b^2-(a-m)(c-m)=0 $$

であるから、

$$ (a-m)t^2+2bt+(c-m) =(a-m)\left(t+\frac{b}{a-m}\right)^2 $$

と書ける。したがって

$$ t=-\frac{b}{a-m} $$

のとき等号が成り立ち、

$$ f\left(-\frac{b}{a-m}\right)=m $$

となる。ゆえに $f(t)$ は最小値 $m$ をもつ。

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（3） すべての実数 $x,y$ に対し

$$ ax^2+2bxy+cy^2\ge m(x^2+y^2) $$

が成り立つことを示す。

まず $y\neq 0$ の場合、$t=\dfrac{x}{y}$ とおくと、

$$ ax^2+2bxy+cy^2 = y^2\left(at^2+2bt+c\right) = y^2(t^2+1)f(t) $$

である。(2) より $f(t)\ge m$ なので、

$$ ax^2+2bxy+cy^2 \ge y^2(t^2+1)m = m(x^2+y^2) $$

を得る。

次に $y=0$ の場合は、

$$ ax^2+2bxy+cy^2=ax^2 $$

である。一方、$m$ の式から

$$ m=\frac{a+c-\sqrt{(a-c)^2+4b^2}}{2} \le \frac{a+c-|a-c|}{2} =\min{a,c}\le a $$

であるから、

$$ ax^2\ge mx^2=m(x^2+y^2) $$

が成り立つ。

以上より、すべての実数 $x,y$ に対して

$$ ax^2+2bxy+cy^2\ge m(x^2+y^2) $$

が成り立つ。

解説

この問題の本質は、分数関数 $f(t)$ の最小値を、単に微分して探すのではなく、

$$ f(t)\ge \lambda $$

という形に直して「どこまで下から抑えられるか」を調べる点にある。

分母が常に正であるため、問題は2次式

$$ (a-\lambda)t^2+2bt+(c-\lambda) $$

がすべての実数で非負になる条件に帰着する。これは2次式の判別式条件そのものであり、最小値が明確に求まる。

また （3） は、$t=\dfrac{x}{y}$ とおくことで （2） の結果をそのまま2変数の2次形式へ移しているだけである。1変数の最小値問題と2変数の2次形式が直結していることが重要である。

答え

**(1)**

$$ at^2+2bt+c = a\left(t+\frac{b}{a}\right)^2+\frac{ac-b^2}{a}>0 $$

より、

$$ f(t)=\frac{at^2+2bt+c}{t^2+1}>0 $$

である。

**(2)**

$f(t)$ は最小値をもち、その値は

$$ m=\frac{a+c-\sqrt{(a-c)^2+4b^2}}{2} $$

である。これは

$$ t=-\frac{b}{a-m} $$

で達成される。

**(3)**

すべての実数 $x,y$ に対して

$$ ax^2+2bxy+cy^2\ge m(x^2+y^2) $$

が成り立つ。