解説

方針・初手

交点 $A,B$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha,\beta$ とすると、これらは直線と放物線の連立から得られる2次方程式の2解である。したがって、$\alpha+\beta,\alpha\beta$ を $m$ で表せる。

また、放物線 $y=\frac12x^2$ の接線の傾きは微分より $x$ 座標そのものになる。よって、接線 $l_1,l_2$ の傾きはそれぞれ $\alpha,\beta$ であり、以後は $\alpha+\beta,\alpha\beta$ を用いて整理すればよい。

解法1

点 $P(1,1)$ を通り、傾きが $m$ の直線は

$$ y-1=m(x-1) $$

すなわち

$$ y=mx-m+1 $$

である。

これと放物線

$$ y=\frac12x^2 $$

との交点の $x$ 座標 $\alpha,\beta$ は

$$ \frac12x^2=mx-m+1 $$

すなわち

$$ x^2-2mx+2m-2=0 $$

の2解である。したがって、解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=2m,\qquad \alpha\beta=2m-2 $$

を得る。

放物線 $y=\frac12x^2$ の $x=t$ における接線は、微分係数が $t$ であるから

$$ y-\frac12t^2=t(x-t) $$

すなわち

$$ y=tx-\frac12t^2 $$

である。よって、$l_1,l_2$ の式は

$$ l_1:\ y=\alpha x-\frac12\alpha^2,\qquad l_2:\ y=\beta x-\frac12\beta^2 $$

となる。

**(1)**

交点 $C=(x,y)$ は

$$ \alpha x-\frac12\alpha^2=\beta x-\frac12\beta^2 $$

を満たすので、

$$ (\alpha-\beta)x=\frac12(\alpha^2-\beta^2) =\frac12(\alpha-\beta)(\alpha+\beta) $$

より

$$ x=\frac{\alpha+\beta}{2}=m $$

である。

さらに

$$ y=\alpha x-\frac12\alpha^2 =\alpha\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac12\alpha^2 =\frac12\alpha\beta =\frac{2m-2}{2} =m-1 $$

となるから、

$$ C=(m,m-1) $$

である。

**(2)**

$m=\frac12$ のとき、

$$ \alpha\beta=2m-2=-1 $$

である。

$l_1,l_2$ の傾きはそれぞれ $\alpha,\beta$ であるから、その積が $-1$ であることより、$l_1,l_2$ は垂直である。

また、$\alpha<\beta$ であり、$\tan\theta_1=\alpha,\ \tan\theta_2=\beta$、しかも $-\frac{\pi}{2}<\theta_1,\theta_2<\frac{\pi}{2}$ だから、$\tan x$ の単調性より

$$ \theta_1<\theta_2 $$

である。したがって

$$ 0<\theta=\theta_2-\theta_1<\pi $$

であり、この範囲で2直線が垂直であるから

$$ \theta=\frac{\pi}{2} $$

となる。

**(3)**

$\theta\ne\frac{\pi}{2}$ のとき、加法定理より

$$ \tan\theta =\tan(\theta_2-\theta_1) =\frac{\tan\theta_2-\tan\theta_1}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2} =\frac{\beta-\alpha}{1+\alpha\beta} $$

である。

ここで

$$ \beta-\alpha =\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta} =\sqrt{(2m)^2-4(2m-2)} =2\sqrt{(m-1)^2+1} $$

であり、また

$$ 1+\alpha\beta=1+(2m-2)=2m-1 $$

だから、

$$ \tan\theta=\frac{2\sqrt{(m-1)^2+1}}{2m-1} $$

を得る。

**(4)**

$m>\frac12$ のとき $2m-1>0$ であるから、（3） の式は正である。そこで

$$ x=2m-1\qquad (x>0) $$

とおくと、

$$ \tan\theta=\frac{\sqrt{x^2-2x+5}}{x} $$

となる。

$\tan\theta>0$ なので、その最小化は $\tan^2\theta$ の最小化と同値である。よって

$$ f(x)=\tan^2\theta =\frac{x^2-2x+5}{x^2} =1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2} $$

とおくと、

$$ f'(x)=\frac{2}{x^2}-\frac{10}{x^3} =\frac{2(x-5)}{x^3} $$

である。

$x>0$ だから、

$$ f'(x)<0\quad(0<x<5),\qquad f'(x)>0\quad(x>5) $$

となり、$f(x)$ は $x=5$ で最小となる。

したがって

$$ 2m-1=5 $$

より

$$ m=3 $$

である。これを （1） の結果

$$ C=(m,m-1) $$

に代入すると

$$ C=(3,2) $$

となる。

解説

この問題では、交点 $A,B$ を直接求めるよりも、$\alpha+\beta,\alpha\beta$ を使うのが本筋である。2次方程式の解と係数の関係を使うと、接線同士の交点 $C$ も角 $\theta$ も簡潔に処理できる。

特に、放物線 $y=\frac12x^2$ の接線の傾きが接点の $x$ 座標と一致することが重要であり、これによって $\tan\theta$ が $\alpha,\beta$ の式に直ちに落ちる。最後は1変数の最小値問題に帰着する。

答え

**(1)**

$$ C=(m,m-1) $$

**(2)**

$$ m=\frac12\text{ のとき }\theta=\frac{\pi}{2} $$

**(3)**

$$ \tan\theta=\frac{2\sqrt{(m-1)^2+1}}{2m-1} \qquad \left(\theta\ne\frac{\pi}{2}\right) $$

**(4)**

$$ \tan\theta\text{ が最小となるとき }C=(3,2) $$