解説

方針・初手

接線の問題なので、まず $f'(x)$ を求めて、点 $P(a,f(a))$ における接線の方程式を立てる。

その接線と $x$ 軸、$y$ 軸との交点をそれぞれ求めれば （1） が解ける。さらに、2点間の距離の公式で線分 $ST$ の長さ $L$ を表し、最後に $a>0$ のもとで最小値を調べればよい。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}\qquad (x>0) $$

であるから、その導関数は

$$ f'(x)=-\frac{1}{2}x^{-3/2}=-\frac{1}{2x^{3/2}} $$

である。

したがって、曲線 $y=f(x)$ 上の点

$$ P\left(a,\frac{1}{\sqrt{a}}\right) $$

における接線 $l$ の方程式は

$$ y-\frac{1}{\sqrt{a}}=-\frac{1}{2a^{3/2}}(x-a) $$

となる。

これを整理すると、

$$ y=\frac{3}{2\sqrt{a}}-\frac{x}{2a^{3/2}} $$

を得る。

**(1)**

$S,T$ の座標を求める。

まず、$x$ 軸との交点 $S$ では $y=0$ であるから、

$$ 0=\frac{3}{2\sqrt{a}}-\frac{x}{2a^{3/2}} $$

より

$$ x=3a $$

となる。したがって、

$$ S=(3a,0) $$

である。

次に、$y$ 軸との交点 $T$ では $x=0$ であるから、

$$ y=\frac{3}{2\sqrt{a}} $$

となる。よって、

$$ T=\left(0,\frac{3}{2\sqrt{a}}\right) $$

である。

（2） 線分 $ST$ の長さ $L$ を求める。

2点間の距離の公式より、

$$ L=\sqrt{(3a-0)^2+\left(0-\frac{3}{2\sqrt{a}}\right)^2} $$

したがって、

$$ L=\sqrt{9a^2+\frac{9}{4a}} =3\sqrt{a^2+\frac{1}{4a}} $$

である。

**(3)**

$L$ の最小値を求める。

$a>0$ なので、$L$ の最小値を求めることは

$$ g(a)=a^2+\frac{1}{4a} $$

の最小値を求めることに等しい。

微分すると、

$$ g'(a)=2a-\frac{1}{4a^2} $$

である。これが $0$ となるのは

$$ 2a-\frac{1}{4a^2}=0 $$

すなわち

$$ 8a^3=1 $$

より

$$ a=\frac{1}{2} $$

のときである。

さらに、

$$ g''(a)=2+\frac{1}{2a^3}>0 $$

であるから、$a=\frac{1}{2}$ のとき極小、したがって最小となる。

このとき

$$ g\left(\frac{1}{2}\right) =\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4\cdot \frac{1}{2}} =\frac{1}{4}+\frac{1}{2} =\frac{3}{4} $$

であるから、

$$ L_{\min}=3\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2} $$

となる。

解説

この問題の要点は、接線の方程式を正確に立てることである。接線が求まれば、軸との交点は $x=0$ または $y=0$ を代入するだけで出る。

また、長さの最小値を求める場面では、平方根の中身を最小化すればよい。$L$ 自体を直接微分してもよいが、$a^2+\dfrac{1}{4a}$ を考えた方が計算が簡潔である。

答え

**(1)**

$$ S=(3a,0),\qquad T=\left(0,\frac{3}{2\sqrt{a}}\right) $$

**(2)**

$$ L=3\sqrt{a^2+\frac{1}{4a}} $$

**(3)**

$$ L_{\min}=\frac{3\sqrt{3}}{2} $$

このとき

$$ a=\frac{1}{2} $$

である。