解説

方針・初手

円 $C$ の中心を $P$ とする。円が半直線 $l_1,\ l_2$ のいずれにも接するので、$P$ は $l_1,\ l_2$ からの距離が等しい点、すなわちそれらのなす角の二等分線上にある。

まず （1） では、$l_1,\ l_2$ のなす角と半径 $1$ を用いて $OP$ を求める。

次に （2） では、$P=(x,y)$ とおき、$l_1,\ l_2$ からの距離がともに $1$ であることから $x,\ y$ を $\theta$ で表し、$y$ を最大にする $\theta$ を調べる。

解法1

円 $C$ の中心を $P$ とする。

$l_1$ が $x$ 軸の正の部分となす角は $\theta$ である。$l_2$ の回転速度はその $2$ 倍で、初めは $y$ 軸の正の部分と重なっているから、$l_2$ が $x$ 軸の正の部分となす角は

$$ \frac{\pi}{2}+2\theta $$

である。

したがって、$l_1,\ l_2$ のなす角は

$$ \left(\frac{\pi}{2}+2\theta\right)-\theta=\frac{\pi}{2}+\theta $$

である。

円 $C$ は $l_1,\ l_2$ の両方に接するので、中心 $P$ はその角の二等分線上にある。よって、$\angle OPH$ を直角とするように $P$ から $l_1$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると、

$$ \angle POH=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2} $$

であり、$PH=1$ であるから、直角三角形 $OPH$ において

$$ \sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2}\right)=\frac{PH}{OP}=\frac{1}{OP} $$

となる。したがって、

$$ OP=\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2}\right)}. $$

これが （1） の答えである。

さらに、後で （2） に使うために $P=(x,y)$ とおく。

（2） の準備

$l_1$ は原点を通り、傾き $\tan\theta$ の直線であるから、その方程式は

$$ x\sin\theta-y\cos\theta=0 $$

である。$P$ はこの直線から距離 $1$ だけ、円の存在する側にあるので

$$ -x\sin\theta+y\cos\theta=1 $$

を満たす。

また、$l_2$ は角 $\dfrac{\pi}{2}+2\theta$ の方向を向くので、その直線の方程式は

$$ x\cos2\theta+y\sin2\theta=0 $$

であり、同様に

$$ x\cos2\theta+y\sin2\theta=1 $$

を満たす。

よって

$$ \begin{cases} -x\sin\theta+y\cos\theta=1\\ x\cos2\theta+y\sin2\theta=1 \end{cases} $$

を解けばよい。

第1式から

$$ y=x\tan\theta+\sec\theta $$

である。これを第2式に代入すると、

$$ x\cos2\theta+\left(x\tan\theta+\sec\theta\right)\sin2\theta=1 $$

すなわち

$$ x\left(\cos2\theta+\tan\theta\sin2\theta\right)+\sec\theta\sin2\theta=1 $$

となる。ここで

$$ \tan\theta\sin2\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot 2\sin\theta\cos\theta =2\sin^2\theta $$

より、

$$ \cos2\theta+\tan\theta\sin2\theta =\cos2\theta+2\sin^2\theta=1 $$

である。また

$$ \sec\theta\sin2\theta =\frac{1}{\cos\theta}\cdot 2\sin\theta\cos\theta =2\sin\theta $$

であるから、

$$ x+2\sin\theta=1 $$

となり、

$$ x=1-2\sin\theta $$

を得る。

したがって

$$ y=x\tan\theta+\sec\theta =(1-2\sin\theta)\tan\theta+\sec\theta =\frac{1+\sin\theta-2\sin^2\theta}{\cos\theta}. $$

（2） の最大化

$0\leqq\theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $\sin\theta$ は単調増加するので、

$$ s=\sin\theta \qquad (0\leqq s\leqq 1) $$

とおけば、$y$ を $s$ の関数とみて最大値を調べればよい。$\cos\theta=\sqrt{1-s^2}$ より

$$ y=\frac{1+s-2s^2}{\sqrt{1-s^2}}. $$

これを $s$ で微分すると

$$ \frac{dy}{ds} =\frac{(s-1)(2s^2+2s-1)}{(1-s^2)^{3/2}} $$

である。

$0\leqq s<1$ では分母は正、また $s-1<0$ であるから、$\dfrac{dy}{ds}=0$ となるのは

$$ 2s^2+2s-1=0 $$

のときである。これを解くと

$$ s=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{4} =\frac{-1\pm\sqrt3}{2} $$

であり、$0\leqq s\leqq 1$ を満たすのは

$$ s=\frac{\sqrt3-1}{2} $$

のみである。したがって、このとき $y$ は最大となる。

すなわち

$$ \sin\theta=\frac{\sqrt3-1}{2}. $$

このとき

$$ \cos^2\theta =1-\sin^2\theta =1-\left(\frac{\sqrt3-1}{2}\right)^2 =\frac{\sqrt3}{2}. $$

よって

$$ \tan^2\theta =\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} =\frac{\left(\frac{\sqrt3-1}{2}\right)^2}{\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{2\sqrt3-3}{3}. $$

$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ であるから $\tan\theta>0$ なので、

$$ \tan\theta=\sqrt{\frac{2\sqrt3-3}{3}}. $$

解説

この問題の本質は、円の中心が「2本の半直線から等距離にある点」であることから、角の二等分線に乗ると見抜くことである。（1） はこの事実だけでほぼ終わる。

（2） は中心の $y$ 座標を具体的に式にする必要がある。半直線への距離が $1$ であることを使って連立方程式を作ると、中心座標がきれいに求まり、その後は最大値問題になる。$\sin\theta$ を新しい変数とみると計算が整理しやすい。

答え

**(1)**

円 $C$ の中心から原点 $O$ までの距離は

$$ \frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2}\right)} $$

である。

**(2)**

円 $C$ の中心の $y$ 座標が最大となるとき、

$$ \tan\theta=\sqrt{\frac{2\sqrt3-3}{3}} $$

である。