解説

方針・初手

まず $f(x)=e^x\cos x$ を微分し、点 $(a,f(a))$ における接線が原点を通る条件を式で表す。

一方、$g(a)=1$ は

$$ \tan a+\frac{1}{a}=1 $$

であるから、これを $\sin a,\cos a$ を用いた形に直して、接線条件と結びつける。

（2） では

$$ h(x)=g(x)-1=\tan x+\frac{1}{x}-1 $$

とおき、区間 $[\pi,\frac{5\pi}{4}]$ における連続性と両端の符号を調べて中間値の定理を用いる。

解法1

**(1)**

まず $f(x)=e^x\cos x$ を微分すると、

$$ f'(x)=e^x\cos x-e^x\sin x=e^x(\cos x-\sin x) $$

である。

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(a,f(a))$ における接線は

$$ y-f(a)=f'(a)(x-a) $$

である。この接線が原点 $(0,0)$ を通るための必要十分条件は、$x=0,\ y=0$ を代入して

$$ -f(a)=f'(a)(-a) $$

すなわち

$$ f(a)=af'(a) $$

となることである。

そこで左辺と右辺を計算する。

$$ f(a)=e^a\cos a $$

$$ af'(a)=ae^a(\cos a-\sin a) $$

よって

$$ f(a)-af'(a) =e^a\cos a-ae^a(\cos a-\sin a) =e^a{(1-a)\cos a+a\sin a} $$

となる。

ここで $g(a)=1$ より

$$ \tan a+\frac{1}{a}=1 $$

であるから、

$$ \tan a=1-\frac{1}{a}=\frac{a-1}{a} $$

したがって

$$ a\tan a=a-1 $$

すなわち

$$ a\frac{\sin a}{\cos a}=a-1 $$

である。$g(a)$ が定義されているので $\cos a\neq 0$ であり、両辺に $\cos a$ をかけて

$$ a\sin a=(a-1)\cos a $$

を得る。これを変形すると

$$ (1-a)\cos a+a\sin a=0 $$

であるから、

$$ f(a)-af'(a)=e^a{(1-a)\cos a+a\sin a}=0 $$

となる。したがって

$$ f(a)=af'(a) $$

が成り立つ。

以上より、点 $(a,f(a))$ における接線は原点を通ることが示された。

**(2)**

関数

$$ h(x)=g(x)-1=\tan x+\frac{1}{x}-1 $$

を考える。

区間 $\left[\pi,\frac{5\pi}{4}\right]$ では $\tan x$ も $\dfrac{1}{x}$ も連続であるから、$h(x)$ はこの区間で連続である。

次に両端の値を調べる。

$$ h(\pi)=\tan \pi+\frac{1}{\pi}-1=0+\frac{1}{\pi}-1=\frac{1}{\pi}-1<0 $$

また、

$$ h\left(\frac{5\pi}{4}\right) =\tan \frac{5\pi}{4}+\frac{4}{5\pi}-1 =1+\frac{4}{5\pi}-1 =\frac{4}{5\pi}>0 $$

である。

したがって、$h(x)$ は区間 $\left[\pi,\frac{5\pi}{4}\right]$ で連続であり、しかも

$$ h(\pi)<0,\qquad h\left(\frac{5\pi}{4}\right)>0 $$

であるから、中間値の定理より

$$ \pi<c<\frac{5\pi}{4} $$

を満たすある $c$ が存在して

$$ h(c)=0 $$

となる。

これは

$$ g(c)-1=0 $$

すなわち

$$ g(c)=1 $$

を意味する。よって、方程式 $g(x)=1$ は区間 $\left(\pi,\frac{5\pi}{4}\right)$ に解をもつ。

解説

この問題の要点は、**接線が原点を通る条件を $f(a)=af'(a)$ と式に直すこと**である。ここまで落とせれば、あとは $g(a)=1$ を三角関数の式に変形して一致させるだけである。

（2） は典型的な中間値の定理の利用であり、方程式そのものを解こうとする必要はない。連続性を確認し、区間の両端で符号が変わることを示せば十分である。

答え

**(1)**

$g(a)=1$ ならば

$$ f(a)=af'(a) $$

が成り立つので、曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(a,f(a))$ における接線は原点を通る。

**(2)**

$$ h(x)=\tan x+\frac{1}{x}-1 $$

とおくと、$h(x)$ は $\left[\pi,\frac{5\pi}{4}\right]$ で連続であり、

$$ h(\pi)=\frac{1}{\pi}-1<0,\qquad h\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{4}{5\pi}>0 $$

である。したがって中間値の定理より、方程式 $g(x)=1$ は区間 $\left(\pi,\frac{5\pi}{4}\right)$ に少なくとも1つの解をもつ。