解説

方針・初手

$\sin x+2$ は $0<x<2\pi$ で常に正であり、合成関数の微分がそのまま使える。したがって、まず $f'(x),f''(x)$ を求め、$f'(x)$ の符号で増減、$f''(x)$ の符号で凹凸を調べる。

方程式 $\log(\sin x+2)-k=0$ の解の個数は、$y=f(x)$ と水平線 $y=k$ の共有点の個数として考えると整理しやすい。

解法1

まず

$$ f(x)=\log(\sin x+2) $$

であり、$\sin x+2>0$ だから微分可能である。

（1） $f'(x),f''(x)$

$\log x$ の微分は $\dfrac{\log e}{x}$ であるから、

$$ f'(x)=\frac{\log e}{\sin x+2}\cdot \cos x =\frac{(\log e)\cos x}{\sin x+2} $$

となる。

さらにもう一度微分すると、

$$ f''(x) =(\log e)\left(\frac{\cos x}{\sin x+2}\right)' =(\log e)\frac{-\sin x(\sin x+2)-\cos^2 x}{(\sin x+2)^2} $$

ここで $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ を用いれば、

$$ -\sin x(\sin x+2)-\cos^2 x =-(\sin^2 x+2\sin x+\cos^2 x) =-(1+2\sin x) $$

だから、

$$ f''(x)=-\frac{(\log e)(2\sin x+1)}{(\sin x+2)^2} $$

である。

（2） 極値

$f'(x)$ の符号を調べる。$\sin x+2>0$ であり、$\log e>0$ だから、$f'(x)$ の符号は $\cos x$ の符号で決まる。

$f'(x)=0$ となるのは

$$ \cos x=0 $$

すなわち

$$ x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2} $$

である。

区間ごとの符号は

• $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ で $\cos x>0$ より $f'(x)>0$
• $\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{3\pi}{2}$ で $\cos x<0$ より $f'(x)<0$
• $\dfrac{3\pi}{2}<x<2\pi$ で $\cos x>0$ より $f'(x)>0$

したがって、$x=\dfrac{\pi}{2}$ で極大、$x=\dfrac{3\pi}{2}$ で極小をとる。

それぞれの値は

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\log 3,\qquad f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\log 1=0 $$

である。

よって、極大値は $\log 3$、極小値は $0$ である。

（3） 変曲点とグラフの概形

$f''(x)$ の符号を調べる。

$$ f''(x)=-\frac{(\log e)(2\sin x+1)}{(\sin x+2)^2} $$

であり、分母は正、$\log e>0$ だから、$f''(x)$ の符号は $-(2\sin x+1)$ の符号で決まる。

$f''(x)=0$ は

$$ 2\sin x+1=0 $$

すなわち

$$ \sin x=-\frac{1}{2} $$

より

$$ x=\frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6} $$

である。

このときの $y$ 座標は

$$ f\left(\frac{7\pi}{6}\right) =f\left(\frac{11\pi}{6}\right) =\log\left(2-\frac{1}{2}\right) =\log\frac{3}{2} $$

である。

さらに符号をみると、

• $0<x<\dfrac{7\pi}{6}$ では $\sin x>-\dfrac{1}{2}$ より $f''(x)<0$
• $\dfrac{7\pi}{6}<x<\dfrac{11\pi}{6}$ では $\sin x<-\dfrac{1}{2}$ より $f''(x)>0$
• $\dfrac{11\pi}{6}<x<2\pi$ では $\sin x>-\dfrac{1}{2}$ より $f''(x)<0$

したがって変曲点は

$$ \left(\frac{7\pi}{6},\log\frac{3}{2}\right),\quad \left(\frac{11\pi}{6},\log\frac{3}{2}\right) $$

である。

また、概形を描くための要点は次の通りである。

• $x\to 0+,\ 2\pi-$ のとき $\sin x\to 0$ なので $f(x)\to \log 2$
• $\left(\dfrac{\pi}{2},\log 3\right)$ で極大
• $\left(\dfrac{3\pi}{2},0\right)$ で極小
• $\left(\dfrac{7\pi}{6},\log\dfrac{3}{2}\right),\left(\dfrac{11\pi}{6},\log\dfrac{3}{2}\right)$ で変曲
• $0<x<\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3\pi}{2}<x<2\pi$ で増加、$\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{3\pi}{2}$ で減少
• $0<x<\dfrac{7\pi}{6}$, $\dfrac{11\pi}{6}<x<2\pi$ で上に凸、$\dfrac{7\pi}{6}<x<\dfrac{11\pi}{6}$ で下に凸

（4） $\log(\sin x+2)-k=0$ の解の個数

これは

$$ \log(\sin x+2)=k $$

すなわち、グラフ $y=f(x)$ と直線 $y=k$ の共有点の個数を求めることに等しい。

$f(x)=\log(\sin x+2)$ について、$\sin x$ の値域は $[-1,1]$ だから、

$$ 1\leqq \sin x+2\leqq 3 $$

より

$$ 0\leqq f(x)\leqq \log 3 $$

である。

さらに、グラフの増減から、

• 最小値 $0$ は $x=\dfrac{3\pi}{2}$ で 1 回
• 最大値 $\log 3$ は $x=\dfrac{\pi}{2}$ で 1 回
• $\log 2$ は $\sin x=0$、すなわち $x=\pi$ で 1 回
• $0<k<\log 2$ のときは谷の左右で 2 回
• $\log 2<k<\log 3$ のときは山の左右で 2 回

となる。

よって解の個数は

$$ \begin{cases} 0 & (k<0\ \text{または}\ k>\log 3),\\ 1 & (k=0,\ k=\log 2,\ k=\log 3),\\ 2 & (0<k<\log 2,\ \log 2<k<\log 3). \end{cases} $$

解説

この問題の本質は、$\log(\sin x+2)$ という形でも、$\sin x+2>0$ が常に成り立つため、微分の処理自体は標準的である点にある。

また、（4） は式変形で直接数えようとするより、（2） の極値と （3） の概形を使って「水平線との交点個数」として処理するのが自然である。特に $k=\log 2$ のとき、区間の端 $x=0,2\pi$ は含まれないので、解が $x=\pi$ の 1 個だけであることに注意が必要である。

答え

**(1)**

$$ f'(x)=\frac{(\log e)\cos x}{\sin x+2} $$

$$ f''(x)=-\frac{(\log e)(2\sin x+1)}{(\sin x+2)^2} $$

**(2)**

極大値は $\log 3$、極小値は $0$ である。

極大：$x=\dfrac{\pi}{2}$ のとき $\log 3$

極小：$x=\dfrac{3\pi}{2}$ のとき $0$

**(3)**

変曲点は

$$ \left(\frac{7\pi}{6},\log\frac{3}{2}\right),\quad \left(\frac{11\pi}{6},\log\frac{3}{2}\right) $$

である。

**(4)**

解の個数は

$$ \begin{cases} 0 & (k<0\ \text{または}\ k>\log 3),\\ 1 & (k=0,\ k=\log 2,\ k=\log 3),\\ 2 & (0<k<\log 2,\ \log 2<k<\log 3). \end{cases} $$