解説

方針・初手

まず $f(x)$ を三角関数の加法定理で整理し、$x$ に関する最大値を取りやすい形に変形する。

特に

$$ \sin x\cos t-\cos x\sin t=\sin(x-t) $$

であるから、$f(x)$ を $\cos!\left(x-\dfrac t2\right)$ を用いて表すと、区間 $t\leqq x\leqq 2\pi$ での最大値がすぐに読める。

その後、得られた $g(t)$ を $t$ の関数として最大化する。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=\sin x\cos t-\cos x\sin t-\sin x+\sin t $$

である。

加法定理より

$$ \sin x\cos t-\cos x\sin t=\sin(x-t) $$

だから、

$$ f(x)=\sin(x-t)-\sin x+\sin t $$

となる。ここで、$\sin A-\sin B$ の公式を用いると

$$ \sin(x-t)-\sin x =2\cos\left(\frac{(x-t)+x}{2}\right)\sin\left(\frac{(x-t)-x}{2}\right) =-2\sin\frac t2 \cos\left(x-\frac t2\right) $$

である。また

$$ \sin t=2\sin\frac t2\cos\frac t2 $$

なので、

$$ f(x)=2\sin\frac t2\left(\cos\frac t2-\cos\left(x-\frac t2\right)\right) $$

と表せる。

ここで $0<t<2\pi$ より

$$ 0<\frac t2<\pi $$

であるから

$$ \sin\frac t2>0 $$

である。したがって、$f(x)$ を最大にするには

$$ \cos\left(x-\frac t2\right) $$

を最小にすればよい。

$x$ が $t\leqq x\leqq 2\pi$ を動くとき、

$$ x-\frac t2 $$

は

$$ \frac t2 \leqq x-\frac t2 \leqq 2\pi-\frac t2 $$

を動く。この区間は $\pi$ を含む。実際、

$$ \frac t2<\pi,\qquad \pi<2\pi-\frac t2 $$

であるから、$\cos\left(x-\dfrac t2\right)$ の最小値は $-1$ であり、それは

$$ x-\frac t2=\pi $$

すなわち

$$ x=\pi+\frac t2 $$

のときにとる。

よって

$$ g(t)=2\sin\frac t2\left(\cos\frac t2-(-1)\right) =2\sin\frac t2\left(1+\cos\frac t2\right) $$

である。これで （1） は求まった。

次に （2） を考える。

$s=\dfrac t2$ とおくと、$0<s<\pi$ であり、

$$ g(t)=2\sin s(1+\cos s) $$

となる。これを $s$ で微分すると

$$ \frac{d}{ds}\bigl(2\sin s(1+\cos s)\bigr) =2\cos s(1+\cos s)-2\sin^2 s $$

である。$\sin^2 s=1-\cos^2 s$ を用いて整理すると

$$ 2\cos s(1+\cos s)-2(1-\cos^2 s) =2(2\cos^2 s+\cos s-1) $$

さらに因数分解して

$$ 2(2\cos^2 s+\cos s-1) =2(2\cos s-1)(\cos s+1) $$

となる。

$0<s<\pi$ では $\cos s=-1$ は起こらないので、極値を与えるのは

$$ 2\cos s-1=0 $$

すなわち

$$ \cos s=\frac12 $$

のときである。$0<s<\pi$ より

$$ s=\frac{\pi}{3} $$

であるから

$$ t=2s=\frac{2\pi}{3} $$

となる。

このとき

$$ g\left(\frac{2\pi}{3}\right) =2\sin\frac{\pi}{3}\left(1+\cos\frac{\pi}{3}\right) =2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac32 =\frac{3\sqrt3}{2} $$

である。

また、$t\to 0+,\ 2\pi-$ のときは $g(t)\to 0$ であるから、これが最大値である。

解説

この問題の要点は、まず $x$ に関する最大値を直接微分で追わず、三角関数の公式で

$$ f(x)=2\sin\frac t2\left(\cos\frac t2-\cos\left(x-\frac t2\right)\right) $$

まで変形することである。

こうすると、$x$ に依存する部分は $\cos\left(x-\dfrac t2\right)$ だけになる。しかも $0<t<2\pi$ なので $\sin\dfrac t2>0$ が保証され、最大値問題が「$\cos$ の最小値を調べる問題」に落ちる。

その後は $g(t)$ を1変数関数として処理すればよい。$t$ のまま微分してもよいが、$s=\dfrac t2$ とおくと式が見やすくなる。

答え

**(1)**

$$ g(t)=2\sin\frac t2\left(1+\cos\frac t2\right) $$

**(2)**

$$ g(t)\text{ の最大値}=\frac{3\sqrt3}{2} $$

であり、そのとき

$$ t=\frac{2\pi}{3} $$

である。