解説

方針・初手

まず $f(x)=\sin 2x+3\sin x$ を微分して、$f'(x)$ を $\cos x$ の式に直す。

すると $f'(x)$ は $\cos x$ を変数とする2次式になるので、その最大値・最小値は2次関数として処理できる。

（2） は $g(x)=f(x)-ax$ の極値の有無を調べる問題であり、$g'(x)=f'(x)-a$ の符号変化を見ればよい。したがって （1） で求めた $f'(x)$ の値域がそのまま決定に使える。

解法1

$f(x)=\sin 2x+3\sin x$ より、

$$ f'(x)=2\cos 2x+3\cos x $$

である。ここで $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ を用いると、

$$ f'(x)=2(2\cos^2 x-1)+3\cos x =4\cos^2 x+3\cos x-2 $$

となる。

ここで $t=\cos x$ とおくと、$-1\le t\le 1$ であり、

$$ f'(x)=4t^2+3t-2 $$

である。これを平方完成すると、

$$ 4t^2+3t-2 =4\left(t+\frac{3}{8}\right)^2-\frac{41}{16} $$

となる。

したがって最小値は

$$ -\frac{41}{16} $$

であり、これは

$$ t=-\frac{3}{8} \quad\text{すなわち}\quad \cos x=-\frac{3}{8} $$

のときにとる。

次に最大値を求める。$4t^2+3t-2$ は上に開く2次関数なので、区間 $[-1,1]$ での最大値は端点で生じる。よって

$$ t=1\ \text{のとき}\ 4+3-2=5, \qquad t=-1\ \text{のとき}\ 4-3-2=-1 $$

であるから、最大値は

$$ 5 $$

である。

以上より、$f'(x)$ の値域は

$$ -\frac{41}{16}\le f'(x)\le 5 $$

である。

次に （2） を考える。

$$ g(x)=f(x)-ax $$

より、

$$ g'(x)=f'(x)-a $$

である。$g(x)$ が極値をもつためには、$g'(x)$ が $0$ となり、しかも符号が変化することが必要十分である。

いま $f'(x)$ の値域は

$$ \left[-\frac{41}{16},,5\right] $$

だから、

**(i)**

$-\dfrac{41}{16}<a<5$ のとき

$f'(x)-a=g'(x)$ は正の値も負の値もとる。したがって連続性より $g'(x)=0$ となる点があり、その際に符号変化が起こるので、$g(x)$ は極値をもつ。

**(ii)**

$a>5$ のとき

$$ g'(x)=f'(x)-a<0 $$

が常に成り立つので、$g(x)$ は単調減少であり、極値をもたない。

**(iii)**

$a<-\dfrac{41}{16}$ のとき

$$ g'(x)=f'(x)-a>0 $$

が常に成り立つので、$g(x)$ は単調増加であり、極値をもたない。

**(iv)**

$a=5$ または $a=-\dfrac{41}{16}$ のとき

$g'(x)$ はそれぞれ常に $\le 0$ または $\ge 0$ で、$0$ になるのは $f'(x)$ が最大値または最小値をとる点だけである。したがって符号変化は起こらず、$g(x)$ は極値をもたない。

よって、$g(x)$ が極値をもつための $a$ の範囲は

$$ -\frac{41}{16}<a<5 $$

である。

解説

この問題の本質は、$f'(x)$ をそのまま三角関数として扱うのではなく、$\cos 2x=2\cos^2 x-1$ を使って $\cos x$ の2次式に直すことである。

すると （1） は単なる2次関数の最大・最小の問題になる。また （2） では $g'(x)=f'(x)-a$ であるから、$a$ を動かしたときに $g'(x)$ が正負両方の値をとるかどうか、すなわち $f'(x)$ の値域に $a$ がどう入るかを見ればよい。

端の値 $a=5,,-\dfrac{41}{16}$ を含めてしまうと、$g'(x)=0$ となっても符号が変わらないため極値にならない点が落とし穴である。

答え

**(1)**

$$ f'(x)=2\cos 2x+3\cos x $$

の最大値は

$$ 5 $$

最小値は

$$ -\frac{41}{16} $$

である。

**(2)**

$g(x)$ が極値をもつような $a$ の範囲は

$$ -\frac{41}{16}<a<5 $$

である。