解説

方針・初手

時刻 $t$ をそのまま扱うより、$\theta=2\pi t$ とおくと回転角が整理しやすい。

このとき、$P$ は角速度 $4\pi$、$Q$ は角速度 $2\pi$ で動くので、まず $P,Q$ の座標を $\theta$ で表し、距離の2乗

$$ PQ^2 $$

を三角関数1変数の式に直す。その後、$\sin\theta+\cos\theta$ を用いて整理すると最大・最小がすぐに判定できる。

解法1

$\theta=2\pi t$ とおく。

時刻 $t=0$ で $P=(0,1)$ であり、$P$ は半径 $1$ の円 $C_1$ を反時計回りに1秒間に2回転するから、

$$ P=(-\sin 2\theta,\ \cos 2\theta) $$

と表せる。

また、時刻 $t=0$ で $Q=(4,0)$ であり、$Q$ は中心 $(1,0)$、半径 $3$ の円 $C_2$ を反時計回りに1秒間に1回転するから、

$$ Q=(1+3\cos\theta,\ 3\sin\theta) $$

である。

したがって、距離の2乗を $D$ とすると、

$$ D=PQ^2 $$

は

$$ D={ -\sin 2\theta-(1+3\cos\theta)}^2+{\cos 2\theta-3\sin\theta}^2 $$

である。

ここで直接展開してもよいが、内積を用いると整理しやすい。 $|P|^2=1$ であり、

$$ |Q|^2=(1+3\cos\theta)^2+(3\sin\theta)^2=10+6\cos\theta $$

また、

$$ P\cdot Q =(-\sin 2\theta)(1+3\cos\theta)+(\cos 2\theta)(3\sin\theta) $$

であるから、

$$ \begin{aligned} D &=|P|^2+|Q|^2-2P\cdot Q \\ &=1+(10+6\cos\theta)-2\Bigl[(-\sin 2\theta)(1+3\cos\theta)+3\sin\theta\cos 2\theta\Bigr] \\ &=11+6\cos\theta+2\sin 2\theta+6(\sin 2\theta\cos\theta-\sin\theta\cos 2\theta). \end{aligned} $$

ここで

$$ \sin 2\theta\cos\theta-\sin\theta\cos 2\theta=\sin(2\theta-\theta)=\sin\theta $$

より、

$$ D=11+6(\sin\theta+\cos\theta)+2\sin 2\theta $$

となる。

ここで

$$ u=\sin\theta+\cos\theta $$

とおくと、

$$ u^2=\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta=1+\sin 2\theta $$

より、

$$ \sin 2\theta=u^2-1 $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} D &=11+6u+2(u^2-1) \\ &=2u^2+6u+9. \end{aligned} $$

さらに、

$$ -\sqrt2\le u=\sin\theta+\cos\theta\le \sqrt2 $$

である。

ここで

$$ \frac{d}{du}(2u^2+6u+9)=4u+6 $$

であり、区間 $[-\sqrt2,\sqrt2]$ では

$$ 4u+6\ge -4\sqrt2+6>0 $$

だから、$D$ はこの区間で単調増加である。

よって、

（i） 最小値は $u=-\sqrt2$ のとき

$$ D_{\min}=2(\sqrt2)^2+6(-\sqrt2)+9=13-6\sqrt2 $$

（ii） 最大値は $u=\sqrt2$ のとき

$$ D_{\max}=2(\sqrt2)^2+6\sqrt2+9=13+6\sqrt2 $$

となる。

次に、そのときの $P,Q$ の座標を求める。

最小値をとるとき

$u=-\sqrt2$ となるのは

$$ \sin\theta+\cos\theta=-\sqrt2 $$

すなわち

$$ \theta=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \qquad (k\in\mathbb Z) $$

のときである。

このとき

$$ P=(-\sin 2\theta,\ \cos 2\theta)=(-1,0) $$

また、

$$ Q=(1+3\cos\theta,\ 3\sin\theta) =\left(1-\frac{3\sqrt2}{2},\ -\frac{3\sqrt2}{2}\right) $$

である。

最大値をとるとき

$u=\sqrt2$ となるのは

$$ \sin\theta+\cos\theta=\sqrt2 $$

すなわち

$$ \theta=\frac{\pi}{4}+2k\pi \qquad (k\in\mathbb Z) $$

のときである。

このとき

$$ P=(-\sin 2\theta,\ \cos 2\theta)=(-1,0) $$

また、

$$ Q=(1+3\cos\theta,\ 3\sin\theta) =\left(1+\frac{3\sqrt2}{2},\ \frac{3\sqrt2}{2}\right) $$

である。

解説

この問題の要点は、2点の運動を別々に追いかけるのではなく、距離の2乗を1変数関数として整理することである。

特に、

$$ \sin\theta+\cos\theta $$

を1つの文字 $u$ で置くと、

$$ \sin 2\theta=u^2-1 $$

が使え、距離の2乗がただの2次式になる。そこまで落とせれば、最大・最小の判定は区間上の単調性を見るだけで済む。

また、最大値・最小値のどちらでも $P=(-1,0)$ になる点は見落としやすい。これは $u=\pm\sqrt2$ のとき、どちらも $2\theta$ が $\frac{\pi}{2}$ を法として一致するためである。

答え

距離の2乗 $PQ^2$ の

**最大値**は

$$ 13+6\sqrt2 $$

であり、そのとき

$$ P=(-1,0),\qquad Q=\left(1+\frac{3\sqrt2}{2},\ \frac{3\sqrt2}{2}\right) $$

である。

**最小値**は

$$ 13-6\sqrt2 $$

であり、そのとき

$$ P=(-1,0),\qquad Q=\left(1-\frac{3\sqrt2}{2},\ -\frac{3\sqrt2}{2}\right) $$

である。