解説

方針・初手

導関数

$$ f'(x)=\cos \frac{x}{3}-\cos (a-x) $$

を因数分解して増減を調べる。極値候補は端点 $x=0,\pi$ と $f'(x)=0$ となる点だけであるから，それらでの値を比較すればよい。

また，$f!\left(\frac{3a}{4}\right)=4\sin \frac{a}{4}$ となるので，(1) の $4\sin \frac{\pi}{12}$ の評価がそのまま (3) の比較に使える。

解法1

**(1)**

まず，

$$ \sin \frac{\pi}{12} =\sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right) =\sin \frac{\pi}{4}\cos \frac{\pi}{6}-\cos \frac{\pi}{4}\sin \frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $$

より，

$$ 4\sin \frac{\pi}{12}=\sqrt{6}-\sqrt{2} $$

である。

次に，$\sqrt{6}-\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ はともに正であるから，2乗して比較すればよい。

$$ (\sqrt{6}-\sqrt{2})^2=8-4\sqrt{3} $$

であり，

$$ 8-4\sqrt{3}<3 $$

は

$$ 5<4\sqrt{3} $$

と同値で，これは明らかに成り立つ。したがって，

$$ 4\sin \frac{\pi}{12}=\sqrt{6}-\sqrt{2}<\sqrt{3} $$

である。

**(2)**

導関数は

$$ f'(x)=\cos \frac{x}{3}-\cos (a-x) $$

である。これを変形すると，

$$ \begin{aligned} f'(x) &=-2\sin \left(\frac{\frac{x}{3}+a-x}{2}\right)\sin \left(\frac{\frac{x}{3}-(a-x)}{2}\right) \\ &=2\sin \left(\frac{a}{2}-\frac{x}{3}\right)\sin \left(\frac{a}{2}-\frac{2x}{3}\right) \end{aligned} $$

となる。

よって $f'(x)=0$ は

$$ \sin \left(\frac{a}{2}-\frac{x}{3}\right)=0 \quad \text{または} \quad \sin \left(\frac{a}{2}-\frac{2x}{3}\right)=0 $$

である。

ここで $0\le a\le \frac{\pi}{3}$，$0<x<\pi$ であるから，

$$ -\frac{\pi}{3}<\frac{a}{2}-\frac{x}{3}\le \frac{\pi}{6}, \qquad -\frac{2\pi}{3}<\frac{a}{2}-\frac{2x}{3}\le \frac{\pi}{6} $$

となり，この範囲で $\sin \theta=0$ となるのは $\theta=0$ のみである。したがって，

$$ \frac{a}{2}-\frac{x}{3}=0 \quad \text{または} \quad \frac{a}{2}-\frac{2x}{3}=0 $$

より，

$$ x=\frac{3a}{2} \quad \text{または} \quad x=\frac{3a}{4} $$

を得る。

ただし $a=0$ のときはこれらはいずれも $x=0$ となり，条件 $0<x<\pi$ を満たさない。ゆえに，

$$ \begin{cases} a=0 \text{ のとき} & f'(x)=0 \text{ となる } x \text{ は存在しない},\\ 0<a\le \dfrac{\pi}{3} \text{ のとき} & x=\dfrac{3a}{4},\ \dfrac{3a}{2}. \end{cases} $$

**(3)**

まず $0<a\le \frac{\pi}{3}$ のときを考える。

(2) の因数分解を用いると，

$$ f'(x)=2\sin \left(\frac{a}{2}-\frac{x}{3}\right)\sin \left(\frac{a}{2}-\frac{2x}{3}\right) $$

である。

そこで符号を調べる。

**(i)**

$0<x<\dfrac{3a}{4}$ のとき

$$ \frac{a}{2}-\frac{x}{3}>0,\qquad \frac{a}{2}-\frac{2x}{3}>0 $$

であるから，$f'(x)>0$ である。

**(ii)**

$\dfrac{3a}{4}<x<\dfrac{3a}{2}$ のとき

$$ \frac{a}{2}-\frac{x}{3}>0,\qquad \frac{a}{2}-\frac{2x}{3}<0 $$

であるから，$f'(x)<0$ である。

**(iii)**

$\dfrac{3a}{2}<x<\pi$ のとき

$$ \frac{a}{2}-\frac{x}{3}<0,\qquad \frac{a}{2}-\frac{2x}{3}<0 $$

であるから，$f'(x)>0$ である。

したがって，$f$ は

$$ 0 \longrightarrow \frac{3a}{4} \longrightarrow \frac{3a}{2} \longrightarrow \pi $$

の順に，増加，減少，増加する。よって最大値候補は $x=\frac{3a}{4},\pi$，最小値候補は $x=0,\frac{3a}{2}$ である。

それぞれの値は

$$ f(0)=\sin a $$

$$ f\left(\frac{3a}{4}\right) =3\sin \frac{a}{4}+\sin \frac{a}{4} =4\sin \frac{a}{4} $$

$$ f\left(\frac{3a}{2}\right) =3\sin \frac{a}{2}+\sin \left(-\frac{a}{2}\right) =2\sin \frac{a}{2} $$

$$ f(\pi)=3\sin \frac{\pi}{3}+\sin (a-\pi) =\frac{3\sqrt{3}}{2}-\sin a $$

である。

まず最大値を比べる。

$0\le a\le \frac{\pi}{3}$ より，

$$ 4\sin \frac{a}{4}\le 4\sin \frac{\pi}{12}<\sqrt{3} $$

であり，また $\sin a\le \frac{\sqrt{3}}{2}$ だから，

$$ f(\pi)=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\sin a\ge \sqrt{3} $$

となる。よって

$$ f\left(\frac{3a}{4}\right)<f(\pi) $$

であり，最大値は

$$ M(a)=f(\pi)=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\sin a $$

である。

次に最小値を比べる。

$$ \sin a=2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}\le 2\sin \frac{a}{2} $$

であるから，

$$ f(0)\le f\left(\frac{3a}{2}\right) $$

となる。したがって最小値は

$$ m(a)=f(0)=\sin a $$

である。

なお $a=0$ のときは

$$ f(x)=3\sin \frac{x}{3}-\sin x =3\sin \frac{x}{3}-\left(3\sin \frac{x}{3}-4\sin^3 \frac{x}{3}\right) =4\sin^3 \frac{x}{3} $$

であり，$0\le x\le \pi$ で単調増加するから，

$$ M(0)=\frac{3\sqrt{3}}{2},\qquad m(0)=0 $$

となる。これは上の式

$$ M(a)=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\sin a,\qquad m(a)=\sin a $$

に一致する。

よって結論は

$$ M(a)=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\sin a,\qquad m(a)=\sin a $$

である。

**(4)**

(3) より

$$ M(a)=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\sin a $$

であり，$0\le a\le \frac{\pi}{3}$ では $\sin a$ は増加するから，$M(a)$ は減少する。したがって，

$$ \max M(a)=M(0)=\frac{3\sqrt{3}}{2},\qquad \min M(a)=M\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3} $$

である。

また，

$$ m(a)=\sin a $$

は $0\le a\le \frac{\pi}{3}$ で増加するから，

$$ \min m(a)=m(0)=0,\qquad \max m(a)=m\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。

解説

この問題の核心は，$f'(x)$ を

$$ f'(x)=2\sin \left(\frac{a}{2}-\frac{x}{3}\right)\sin \left(\frac{a}{2}-\frac{2x}{3}\right) $$

と因数分解できることである。これにより，停留点が $x=\frac{3a}{4},\frac{3a}{2}$ と直ちに分かり，しかも符号変化も簡単に調べられる。

さらに，極値候補での値が

$$ f\left(\frac{3a}{4}\right)=4\sin \frac{a}{4},\qquad f\left(\frac{3a}{2}\right)=2\sin \frac{a}{2} $$

ときれいな形になるので，(1) の

$$ 4\sin \frac{\pi}{12}<\sqrt{3} $$

という評価がそのまま最大値の比較に効いてくる。微分と三角比の評価をうまく接続するのがポイントである。

答え

**(1)**

$$ 4\sin \frac{\pi}{12}=\sqrt{6}-\sqrt{2} $$

であり，

$$ 4\sin \frac{\pi}{12}<\sqrt{3} $$

である。

**(2)**

$$ \begin{cases} a=0 \text{ のとき} & \text{解なし},\\ 0<a\le \dfrac{\pi}{3} \text{ のとき} & x=\dfrac{3a}{4},\ \dfrac{3a}{2}. \end{cases} $$

**(3)**

$$ M(a)=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\sin a,\qquad m(a)=\sin a $$

**(4)**

$$ \max M(a)=\frac{3\sqrt{3}}{2},\qquad \min M(a)=\sqrt{3} $$

$$ \max m(a)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \min m(a)=0 $$