解説

方針・初手

まず，点 $P(a,\sin a)$ における法線の方程式を求め，その $x$ 軸との交点 $Q$ の座標を出す。

次に，$PQ$ を直径とする円と $x$ 軸のもう一つの交点 $R$ を求める。すると，三角形 $PQR$ は底辺 $QR$ が $x$ 軸上にあり，高さは $\sin a$ であるから，面積 $S(a)$ はすぐに計算できる。

最後に，得られた $S(a)$ を $0<a<\dfrac{\pi}{2}$ で最大化する。

解法1

曲線 $C:y=\sin x$ の接線の傾きは

$$ \frac{dy}{dx}=\cos x $$

であるから，点 $P(a,\sin a)$ における接線の傾きは $\cos a$ である。したがって法線の傾きは

$$ -\frac{1}{\cos a} $$

である。

よって，法線の方程式は

$$ y-\sin a=-\frac{1}{\cos a}(x-a) $$

となる。これと $x$ 軸，すなわち $y=0$ との交点を $Q$ とすると，

$$ -\sin a=-\frac{1}{\cos a}(x-a) $$

より，

$$ x-a=\sin a\cos a $$

となるので，

$$ Q(a+\sin a\cos a,,0) $$

である。

次に，線分 $PQ$ を直径とする円を考える。点 $P,Q$ の中点を $M$ とすると，

$$ M\left(a+\frac{\sin a\cos a}{2},,\frac{\sin a}{2}\right) $$

であり，半径の二乗は

$$ \left(\frac{PQ}{2}\right)^2 =\frac{1}{4}\left\{(\sin a\cos a)^2+(\sin a)^2\right\} $$

である。

この円と $x$ 軸との交点を求めるため，$y=0$ を代入する。円の中心から $x$ 軸までの距離は $\dfrac{\sin a}{2}$ だから，$x$ 軸上での中心から交点までの距離の二乗は

$$ \left(\frac{PQ}{2}\right)^2-\left(\frac{\sin a}{2}\right)^2 =\frac{1}{4}\left\{(\sin a\cos a)^2+(\sin a)^2-(\sin a)^2\right\} =\frac{(\sin a\cos a)^2}{4} $$

となる。したがって，交点の $x$ 座標は

$$ a+\frac{\sin a\cos a}{2}\pm \frac{\sin a\cos a}{2} $$

である。

一方は $Q$ の座標 $a+\sin a\cos a$ であり，他方が $R$ の座標なので，

$$ R(a,,0) $$

となる。

したがって，

$$ QR=(a+\sin a\cos a)-a=\sin a\cos a $$

である。三角形 $PQR$ は底辺 $QR$ が $x$ 軸上にあり，高さは点 $P$ の $y$ 座標 $\sin a$ だから，

$$ S(a)=\frac{1}{2}\cdot QR\cdot \sin a =\frac{1}{2}\sin a\cos a\cdot \sin a =\frac{1}{2}\sin^2 a\cos a $$

である。

次に，これを最大にする $a$ を求める。

$$ S(a)=\frac{1}{2}\sin^2 a\cos a $$

であり，$0<a<\dfrac{\pi}{2}$ だから，$t=\cos a$ とおくと $0<t<1$ で，

$$ \sin^2 a=1-\cos^2 a=1-t^2 $$

より，

$$ S(a)=\frac{1}{2}(1-t^2)t =\frac{1}{2}(t-t^3) $$

となる。これを $t$ で微分すると，

$$ \frac{d}{dt}\left\{\frac{1}{2}(t-t^3)\right\} =\frac{1}{2}(1-3t^2) $$

であるから，極値は

$$ 1-3t^2=0 $$

すなわち

$$ t=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

のときに生じる。よって

$$ \cos a=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

のとき最大である。

このとき

$$ \sin^2 a=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} $$

だから，

$$ S(a)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{1}{3\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}}{9} $$

となる。

解説

この問題の要点は，円そのものを複雑に扱うことではなく，まず法線から $Q$ を求めることである。

その後，円と $x$ 軸の交点を調べると，もう一方の交点 $R$ がちょうど $(a,0)$ になる。すると底辺 $QR$ は $\sin a\cos a$，高さは $\sin a$ と一気に簡単になる。

最大値の処理では，$S(a)=\dfrac{1}{2}\sin^2 a\cos a$ をそのまま微分してもよいが，$\cos a=t$ とおくと三次式になって見通しがよい。

答え

$$ S(a)=\frac{1}{2}\sin^2 a\cos a $$

また，

$$ S(a)_{\max}=\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9} $$

であり，これは

$$ \cos a=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

のときにとる。