解説

方針・初手

絶対値の切れ目は $x=0,2$ である。したがって区間 $x<0$, $0\le x\le 2$, $x>2$ に分けて式を外し，各区間で解の個数を調べる。

特に外側の区間では，$x<0$ なら $y=-x>0$, $x>2$ なら $z=x-2>0$ とおくと，「正の解の個数」の問題に帰着できる。

解法1

$f(x)=|x(x-2)|+2a|x|-4a|x-2|-1$ とおく。

区間ごとに絶対値を外すと，

$$ f(x)= \begin{cases} x^2+(2a-2)x-(8a+1) & (x<0),\\ -x^2+(6a+2)x-(8a+1) & (0\le x\le 2),\\ x^2-(2a+2)x+(8a-1) & (x>2) \end{cases} $$

となる。

（i） $x<0$ のとき

$x=-y$ とおくと $y>0$ であり，方程式は

$$ y^2+(2-2a)y-(8a+1)=0 $$

となる。

ここで場合分けする。

**$a<-\dfrac18$ のとき**

係数 $2-2a>0$, $-(8a+1)>0$ であるから，$y>0$ に対して

$$ y^2+(2-2a)y-(8a+1)>0 $$

となり，正の解をもたない。したがって $x<0$ の解はない。

**$a=-\dfrac18$ のとき**

$$ y^2+\frac94 y=0 $$

より $y=0,-\dfrac94$ であり，$y>0$ の解はない。したがって $x<0$ の解はない。

**$a>-\dfrac18$ のとき**

定数項が負であるから，2解の積は負であり，正の解をちょうど1つもつ。したがって $x<0$ の解はちょうど1つである。

よって，$x<0$ にある解の個数は

$$ \begin{cases} 0 & \left(a\le -\dfrac18\right),\\ 1 & \left(a>-\dfrac18\right) \end{cases} $$

である。

（ii） $0\le x\le 2$ のとき

この区間では

$$ f(x)=-x^2+(6a+2)x-(8a+1) $$

である。下に凸ではなく，上に凸ではない下に開く放物線であるから，端点の符号と頂点の値で解の個数が分かる。

まず端点の値は

$$ f(0)=-(8a+1),\qquad f(2)=4a-1 $$

である。

また頂点は

$$ x=3a+1 $$

にあり，そのときの値は

$$ f(3a+1)=a(9a-2) $$

である。

端点の符号が異なる場合

$f(0)$ と $f(2)$ の符号が異なるのは

$$ a<-\frac18 \quad \text{または} \quad a>\frac14 $$

のときである。このとき連続性より，区間 $(0,2)$ に解をちょうど1つもつ。

端点がともに負の場合

$f(0)<0,\ f(2)<0$ となるのは

$$ -\frac18<a<\frac14 $$

のときである。このとき頂点 $x=3a+1$ は

$$ \frac58<3a+1<\frac74 $$

より確かに区間 $(0,2)$ の内部にある。

したがって，この区間で解を2つもつのは，頂点の値が正のとき，すなわち

$$ a(9a-2)>0 $$

のときである。これを $-\dfrac18<a<\dfrac14$ と合わせると，

$$ -\frac18<a<0,\qquad \frac29<a<\frac14 $$

のときに限り，$(0,2)$ に相異なる2つの解をもつ。

なお，

$$ a=0,\ \frac29 $$

では頂点の値が $0$ となるため，$(0,2)$ に重解を1つもつだけである。

また，

$$ a=-\frac18,\ \frac14 $$

ではそれぞれ $x=0,\ x=2$ が解となり，内部には1つだけ解をもつ。

以上より，$0\le x\le 2$ にある解の個数は次のようになる。

• $a<-\dfrac18$ または $a>\dfrac14$ のとき，$(0,2)$ に1個。
• $-\dfrac18<a<0$ または $\dfrac29<a<\dfrac14$ のとき，$(0,2)$ に2個。
• $a=0,\ \dfrac29$ のとき，$(0,2)$ に重解1個。
• $-\dfrac18<a<\dfrac29$ かつ $a\ne 0$ のとき，$(0,2)$ に解はない。

（iii） $x>2$ のとき

$x=2+z$ とおくと $z>0$ であり，方程式は

$$ z^2+(2-2a)z+(4a-1)=0 $$

となる。

ここで場合分けする。

**$a<\dfrac14$ のとき**

定数項 $4a-1<0$ であるから，2解の積は負であり，正の解をちょうど1つもつ。したがって $x>2$ の解はちょうど1つである。

**$a=\dfrac14$ のとき**

$$ z^2+\frac32 z=0 $$

より $z=0,-\dfrac32$ であり，$z>0$ の解はない。したがって $x>2$ の解はない。

**$a>\dfrac14$ のとき**

定数項は正であるから，正の解を2つもつには，解の和が正かつ判別式が正であることが必要十分である。

解の和は

$$ -(2-2a)=2a-2 $$

であるから，正になるには $a>1$ が必要である。

また判別式は

$$ (2-2a)^2-4(4a-1)=4(a^2-6a+2) $$

であり，これが正となるのは

$$ a^2-6a+2>0 $$

すなわち

$$ a<3-\sqrt7 \quad \text{または} \quad a>3+\sqrt7 $$

である。これと $a>1$ を合わせると，

$$ a>3+\sqrt7 $$

のときに限り，$x>2$ に相異なる2つの解をもつ。

なお $a=3+\sqrt7$ では $x>2$ に重解を1つもつだけである。

以上より，$x>2$ にある解の個数は

$$ \begin{cases} 1 & \left(a<\dfrac14\right),\\ 0 & \left(a=\dfrac14\right),\\ 2 & \left(a>3+\sqrt7\right),\\ 0 \text{ または }1\text{重解} & \left(\dfrac14<a\le 3+\sqrt7\right) \end{cases} $$

である。

（iv） 全体で4個の相異なる実数解をもつ条件

各区間の結果を合わせる。

**$-\dfrac18<a<0$ のとき**

• $x<0$ に1個
• $0<x<2$ に2個
• $x>2$ に1個

よって合計4個である。

**$\dfrac29<a<\dfrac14$ のとき**

• $x<0$ に1個
• $0<x<2$ に2個
• $x>2$ に1個

よって合計4個である。

**$a>3+\sqrt7$ のとき**

• $x<0$ に1個
• $0<x<2$ に1個
• $x>2$ に2個

よって合計4個である。

一方，境界値

$$ a=-\frac18,\ 0,\ \frac29,\ \frac14,\ 3+\sqrt7 $$

では重解や端点解が現れ，相異なる解の個数は4にならない。

解説

この問題の核心は，絶対値を機械的に外すだけでなく，「各区間で何個の解が入るか」を整理して数えることである。

外側の区間では $x=-y,\ x=2+z$ と置くと，正の解の個数判定に直せるので見通しがよい。中央の区間では下に開く放物線になるため，端点の符号と頂点の値を見るのが最も効率的である。

特に，4個の相異なる解を得るには，「左に1個，中央に2個，右に1個」または「左に1個，中央に1個，右に2個」という形しかないことを意識すると整理しやすい。

答え

$$ -\frac18<a<0 \quad \text{または} \quad \frac29<a<\frac14 \quad \text{または} \quad a>3+\sqrt7 $$