解説

方針・初手

直線 $AP,\ BP$ と $x$ 軸の交点を求めるので，まずそれぞれの直線を媒介変数で表し，$y=0$ を満たすときの $x$ 座標を求める。

（2） では，（1） で得た $x$ 座標の差がそのまま線分 $X_AX_B$ の長さになる。$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ では $\sin\theta,\cos\theta>0$ であるから，差の符号も扱いやすい。最大値は，式を整理してから二乗して調べるのが自然である。

解法1

点 $P$ を

$$ P(\cos\theta,\sin\theta) $$

とおく。

（1） $X_A,\ X_B$ の $x$ 座標

直線 $AP$ は，媒介変数 $t$ を用いて

$$ (x,y)=(0,2)+t(\cos\theta,\sin\theta-2) $$

と表せる。

この直線が $x$ 軸と交わるときは $y=0$ であるから，

$$ 2+t(\sin\theta-2)=0 $$

より，

$$ t=\frac{2}{2-\sin\theta} $$

である。したがって，交点 $X_A$ の $x$ 座標は

$$ x_A=\frac{2\cos\theta}{2-\sin\theta} $$

となる。

同様に，直線 $BP$ は

$$ (x,y)=(0,-2)+u(\cos\theta,\sin\theta+2) $$

と表せる。

$x$ 軸との交点では $y=0$ だから，

$$ -2+u(\sin\theta+2)=0 $$

より，

$$ u=\frac{2}{2+\sin\theta} $$

である。ゆえに，交点 $X_B$ の $x$ 座標は

$$ x_B=\frac{2\cos\theta}{2+\sin\theta} $$

である。

（2） 線分 $X_AX_B$ の長さの最大値

$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ では $\sin\theta>0,\ \cos\theta>0$ であり，

$$ 2-\sin\theta<2+\sin\theta $$

であるから，

$$ x_A>x_B $$

となる。したがって，

$$ |X_AX_B|=x_A-x_B $$

である。

（1） の結果を用いると，

$$ |X_AX_B| =\frac{2\cos\theta}{2-\sin\theta}-\frac{2\cos\theta}{2+\sin\theta} $$

$$ =\frac{4\sin\theta\cos\theta}{4-\sin^2\theta} $$

となる。

ここで

$$ t=\sin^2\theta \qquad \left(0<t<1\right) $$

とおくと，$\cos^2\theta=1-t$ より，

$$ |X_AX_B|^2 =\frac{16\sin^2\theta\cos^2\theta}{(4-\sin^2\theta)^2} =\frac{16t(1-t)}{(4-t)^2} $$

となる。

そこで

$$ f(t)=\frac{t(1-t)}{(4-t)^2} $$

とおくと，

$$ f'(t)=\frac{(1-2t)(4-t)^2+2t(1-t)(4-t)}{(4-t)^4} =\frac{4-7t}{(4-t)^3} $$

である。

よって，

• $0<t<\dfrac{4}{7}$ で $f'(t)>0$
• $\dfrac{4}{7}<t<1$ で $f'(t)<0$

となるから，$f(t)$ は $t=\dfrac{4}{7}$ で最大となる。

したがって，

$$ |X_AX_B|^2 =\frac{16\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{3}{7}}{\left(4-\frac{4}{7}\right)^2} =\frac{16\cdot \frac{12}{49}}{\left(\frac{24}{7}\right)^2} =\frac{192}{576} =\frac{1}{3} $$

より，

$$ |X_AX_B|_{\max}=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

である。

解説

この問題の要点は，$X_A,\ X_B$ を直接求めようとして図形的に悩むよりも，直線を式で表して機械的に処理することである。

また，最大値を求める段階では

$$ |X_AX_B|=\frac{4\sin\theta\cos\theta}{4-\sin^2\theta} $$

まで整理できれば，$\sin^2\theta=t$ と置いて一変数関数に直すのが典型手法である。平方根を含む式より，二乗した式を扱う方が微分計算が簡潔になる。

答え

**(1)**

$$ X_A\text{ の }x\text{ 座標 }=\frac{2\cos\theta}{2-\sin\theta}, \qquad X_B\text{ の }x\text{ 座標 }=\frac{2\cos\theta}{2+\sin\theta} $$

**(2)**

線分 $X_AX_B$ の長さの最大値は

$$ \frac{1}{\sqrt{3}} $$

である。