解説

方針・初手

点と直線の距離の公式を用いて $h$ を $t$ の式で表す。 その後，

$$ h=\left|A\cos t+B\sin t\right| $$

の最大値を

$$ A^2+B^2 $$

で処理する。 さらに，$\angle OPH=\theta_0$ については，三角形 $OPH$ が $H$ で直角であることから

$$ \cos\theta_0=\frac{PH}{PO} $$

を用いればよい。

解法1

直線

$$ ax+\sqrt{1-a^2},y=0 $$

に対し，

$$ a^2+( \sqrt{1-a^2})^2=1 $$

であるから，点 $P(2\cos t,\sin t)$ からこの直線までの距離は

$$ h=\left|a\cdot 2\cos t+\sqrt{1-a^2}\cdot \sin t\right| $$

である。したがって

$$ h=\left|2a\cos t+\sqrt{1-a^2}\sin t\right| $$

となる。

よって

$$ \boxed{\text{ア}=2a},\qquad \boxed{\text{イ}=\sqrt{1-a^2}} $$

である。

次に $h$ の最大値を求める。Cauchy-Schwarz の不等式より

$$ \left(2a\cos t+\sqrt{1-a^2}\sin t\right)^2 \leqq \left\{(2a)^2+( \sqrt{1-a^2})^2\right\}(\cos^2 t+\sin^2 t) $$

であるから，

$$ h^2\leqq 4a^2+1-a^2=1+3a^2 $$

となる。よって

$$ h\leqq \sqrt{1+3a^2} $$

であり，最大値は

$$ \sqrt{1+3a^2} $$

である。

したがって

$$ \boxed{\text{オ}=\sqrt{1+3a^2}} $$

である。

等号成立条件は

$$ (\cos t,\sin t)\parallel \left(2a,\sqrt{1-a^2}\right) $$

であるから，

$$ \begin{aligned} (\cos t,\sin t) &= \pm \frac{\left(2a,\sqrt{1-a^2}\right)}{\sqrt{1+3a^2}} \end{aligned} $$

となる。したがってそのときの $P$ の座標は

$$ \begin{aligned} P= \left( 2\cos t,\sin t \right) &= \left( \pm \frac{4a}{\sqrt{1+3a^2}}, \pm \frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1+3a^2}} \right) \qquad (\text{複号同順}) \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \boxed{\text{ウ}=\frac{4a}{\sqrt{1+3a^2}}},\qquad \boxed{\text{エ}=\frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1+3a^2}}} $$

である。

次に $\cos\theta_0$ を求める。 三角形 $OPH$ は $H$ で直角であり，$\angle OPH=\theta_0$ だから

$$ \cos\theta_0=\frac{PH}{PO}=\frac{h}{OP} $$

である。

最大値をとるとき，

$$ PH=h=\sqrt{1+3a^2} $$

である。また

$$ PO^2=(2\cos t)^2+(\sin t)^2 $$

に先ほどの

$$ \cos t=\pm \frac{2a}{\sqrt{1+3a^2}},\qquad \sin t=\pm \frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1+3a^2}} $$

を代入すると，

$$ \begin{aligned} PO^2 &= 4\cdot \frac{4a^2}{1+3a^2} + \frac{1-a^2}{1+3a^2} &= \frac{16a^2+1-a^2}{1+3a^2} \\ \frac{1+15a^2}{1+3a^2} \end{aligned} $$

である。よって

$$ PO=\sqrt{\frac{1+15a^2}{1+3a^2}} $$

となるから，

$$ \begin{aligned} \cos\theta_0 &= \frac{\sqrt{1+3a^2}}{\sqrt{\frac{1+15a^2}{1+3a^2}}} \\ \frac{1+3a^2}{\sqrt{1+15a^2}} \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ \boxed{\text{カ}=\frac{1+3a^2}{\sqrt{1+15a^2}}} $$

である。

最後に

$$ f(a)=\frac{1+3a^2}{\sqrt{1+15a^2}} $$

の最大・最小を求める。$x=a^2$ とおくと $0\leqq x\leqq 1$ で，

$$ f(a)=\frac{1+3x}{\sqrt{1+15x}}=:g(x) $$

と書ける。これを微分すると

$$ \begin{aligned} g'(x) &= \frac{3(1+15x)-\frac{15}{2}(1+3x)}{(1+15x)^{3/2}} \\ \frac{9(5x-1)}{2(1+15x)^{3/2}} \end{aligned} $$

である。

したがって，

**(i)**

$0\leqq x<\dfrac15$ では $g'(x)<0$

**(ii)**

$x>\dfrac15$ では $g'(x)>0$

であるから，$g(x)$ は $x=\dfrac15$ で最小となる。よって

$$ a^2=\frac15 \quad\Longrightarrow\quad a=\pm \frac1{\sqrt5} $$

のとき最小値をとり，

$$ \begin{aligned} g\left(\frac15\right) &= \frac{1+\frac35}{\sqrt{1+3}} \\ \frac{8/5}{2} \\ \frac45 \end{aligned} $$

である。

また最大値は端点で調べればよく，

$$ g(0)=1,\qquad g(1)=1 $$

より，$a=0,\pm1$ のとき最大値 $1$ をとる。

したがって

$$ \boxed{\text{キ}=\pm \frac1{\sqrt5}},\qquad \boxed{\text{ク}=\frac45},\qquad \boxed{\text{ケ}=0,\pm1},\qquad \boxed{\text{コ}=1} $$

である。

解説

この問題の本質は，距離の公式で得られる

$$ |A\cos t+B\sin t| $$

の最大値処理である。これは

$$ A^2+B^2 $$

を用いるのが典型であり，等号成立条件まで追うことで最大値をとる点 $P$ の座標も同時に求まる。

また $\cos\theta_0$ は図形的に考えてもよいが，直角三角形 $OPH$ に着目して

$$ \cos\theta_0=\frac{PH}{PO} $$

と置くのが最も素直である。

最後の関数は $a$ の偶関数であるため，$x=a^2$ と置くと整理しやすい。

答え

$$ \text{ア}=2a,\qquad \text{イ}=\sqrt{1-a^2} $$

$$ \text{ウ}=\frac{4a}{\sqrt{1+3a^2}},\qquad \text{エ}=\frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1+3a^2}} $$

$$ \text{オ}=\sqrt{1+3a^2} $$

$$ \text{カ}=\frac{1+3a^2}{\sqrt{1+15a^2}} $$

$$ \text{キ}=\pm \frac1{\sqrt5},\qquad \text{ク}=\frac45 $$

$$ \text{ケ}=0,\pm1,\qquad \text{コ}=1 $$