解説

方針・初手

まず直線 $AP$ と $y$ 軸の交点 $Q$ を求める。すると、点 $R$ は直線 $OP$ 上にあり、しかも $Q$ を通る水平線上にあるから、$R=tP$ とおくと座標がすぐに定まる。

その後、（2） は $R$ の $y$ 座標を $\theta$ の関数として微分して最大値を調べ、（3） は $OR^2$ を $\cos\theta$ の式に直して最小値を調べる。

解法1

点 $P$ の座標は

$$ P(2\cos\theta,\sin\theta) $$

である。

また、点 $A$ は $(a,0)$ であるから、直線 $AP$ の傾きは

$$ \begin{aligned} \frac{\sin\theta-0}{2\cos\theta-a} &= \frac{\sin\theta}{2\cos\theta-a} \end{aligned} $$

である。よって、直線 $AP$ の方程式は

$$ y=\frac{\sin\theta}{2\cos\theta-a}(x-a) $$

となる。

（1） 点 $R$ の座標

点 $Q$ は $y$ 軸との交点なので $x=0$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} y=\frac{\sin\theta}{2\cos\theta-a}(0-a) &= \frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta} \end{aligned} $$

より、

$$ Q\left(0,\frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\right) $$

である。

ここで、点 $R$ は直線 $OP$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて

$$ R=(2t\cos\theta,\ t\sin\theta) $$

と表せる。

さらに、点 $R$ は点 $Q$ を通る $x$ 軸に平行な直線上にあるので、$R$ の $y$ 座標は $Q$ の $y$ 座標に等しい。したがって、

$$ t\sin\theta=\frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta} $$

となる。$0<\theta<\pi$ より $\sin\theta>0$ だから、

$$ t=\frac{a}{a-2\cos\theta} $$

である。

よって、

$$ R\left(\frac{2a\cos\theta}{a-2\cos\theta},\ \frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\right) $$

となる。

（2） $f(\theta)$ の最大値

（1） より、点 $R$ の $y$ 座標は

$$ f(\theta)=\frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta} $$

である。

これを微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(\theta) &= a\cdot \frac{\cos\theta(a-2\cos\theta)-2\sin^2\theta}{(a-2\cos\theta)^2} \end{aligned} $$

である。分子を整理すると、

$$ \begin{aligned} \cos\theta(a-2\cos\theta)-2\sin^2\theta &= a\cos\theta-2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) \\ a\cos\theta-2 \end{aligned} $$

だから、

$$ f'(\theta)=\frac{a(a\cos\theta-2)}{(a-2\cos\theta)^2} $$

となる。

ここで $a>2$ であり、また $a-2\cos\theta>a-2>0$ だから、$f'(\theta)$ の符号は $a\cos\theta-2$ の符号で決まる。

したがって、

• $\cos\theta>\dfrac{2}{a}$ のとき $f'(\theta)>0$
• $\cos\theta<\dfrac{2}{a}$ のとき $f'(\theta)<0$

となるので、

$$ \cos\theta=\frac{2}{a} $$

のとき $f(\theta)$ は最大となる。

このとき、

$$ \sin\theta=\sqrt{1-\frac{4}{a^2}}=\frac{\sqrt{a^2-4}}{a} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} f(\theta) &= \frac{a\cdot \dfrac{\sqrt{a^2-4}}{a}}{a-\dfrac{4}{a}} \\ \frac{\sqrt{a^2-4}}{\dfrac{a^2-4}{a}} \\ \frac{a}{\sqrt{a^2-4}} \end{aligned} $$

となる。

よって、$f(\theta)$ の最大値は

$$ \frac{a}{\sqrt{a^2-4}} $$

である。

（3） $g(\theta)$ の最小値

点 $R$ の座標を用いると、

$$ \begin{aligned} g(\theta)=OR^2 &= \left(\frac{2a\cos\theta}{a-2\cos\theta}\right)^2 + \left(\frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\right)^2 \end{aligned} $$

である。整理して、

$$ \begin{aligned} g(\theta) &= \frac{a^2(4\cos^2\theta+\sin^2\theta)}{(a-2\cos\theta)^2} \\ \frac{a^2(1+3\cos^2\theta)}{(a-2\cos\theta)^2} \end{aligned} $$

となる。

ここで $t=\cos\theta$ とおくと、$-1<t<1$ であり、

$$ g(\theta)=a^2\cdot \frac{1+3t^2}{(a-2t)^2} $$

となる。したがって、

$$ h(t)=\frac{1+3t^2}{(a-2t)^2} $$

の最小値を求めればよい。

これを微分すると、

$$ \begin{aligned} h'(t) &= \frac{6t(a-2t)^2+4(1+3t^2)(a-2t)}{(a-2t)^4} \end{aligned} $$

である。分子を整理すると、

$$ \begin{aligned} 6t(a-2t)^2+4(1+3t^2)(a-2t) &= (a-2t)(6at+4) \end{aligned} $$

だから、

$$ h'(t)=\frac{(a-2t)(6at+4)}{(a-2t)^4} $$

となる。

$a>2,\ -1<t<1$ より $a-2t>0$ だから、$h'(t)$ の符号は $6at+4$ の符号で決まる。よって、

$$ 6at+4=0 \quad\Longleftrightarrow\quad t=-\frac{2}{3a} $$

のとき最小となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} g_{\min} &= a^2\cdot \frac{1+3\left(\dfrac{4}{9a^2}\right)}{\left(a+\dfrac{4}{3a}\right)^2} \end{aligned} $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} g_{\min} &= a^2\cdot \frac{\dfrac{3a^2+4}{3a^2}}{\dfrac{(3a^2+4)^2}{9a^2}} &= \frac{3a^2}{3a^2+4} \end{aligned} $$

となる。

よって、$g(\theta)$ の最小値は

$$ \frac{3a^2}{3a^2+4} $$

である。

解説

この問題では、点 $R$ を直接求めようとして直線の式を二本立てるよりも、まず $Q$ の高さを出し、次に $R$ が直線 $OP$ 上にあることから $R=tP$ とおくのが最も自然である。

（2） は分母をもつ三角関数の式であるが、微分すると分子がきれいに $a\cos\theta-2$ まで落ちるので、極値判定がしやすい。

（3） は $OR^2$ をそのまま $\theta$ で微分してもよいが、$\cos\theta=t$ とおくと有理関数になり、計算の見通しがよくなる。

答え

**(1)**

$$ R\left(\frac{2a\cos\theta}{a-2\cos\theta},\ \frac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\right) $$

**(2)**

$f(\theta)$ の最大値は

$$ \frac{a}{\sqrt{a^2-4}} $$

**(3)**

$g(\theta)$ の最小値は

$$ \frac{3a^2}{3a^2+4} $$