解説

方針・初手

原点を通り $P(p,-a)$ を通る直線の式を求め，そこから $Q$ の座標を $p$ で表す。すると $L^2$ は $p$ の式になる。

最小化では $p<0$ であることを踏まえ，$x=-p\ (x>0)$ と置くと符号の扱いが整理される。

解法1

原点と $P(p,-a)$ を通る直線の傾きは

$$ \frac{-a-0}{p-0}=-\frac{a}{p} $$

である。よってこの直線の方程式は

$$ y=-\frac{a}{p}x $$

となる。

この直線と $x=b$ との交点を $Q$ とすると，

$$ Q\left(b,-\frac{ab}{p}\right) $$

である。したがって，

$$ L^2=(b-p)^2+\left(-\frac{ab}{p}+a\right)^2 $$

である。これを整理すると，

$$ \begin{aligned} L^2 &=(b-p)^2+\left(\frac{a(p-b)}{p}\right)^2 \\ &=(b-p)^2\left(1+\frac{a^2}{p^2}\right) \end{aligned} $$

となる。

次に，$x=-p\ (x>0)$ とおくと，

$$ L^2=(x+b)^2\left(1+\frac{a^2}{x^2}\right) $$

である。これを展開すると，

$$ L^2=x^2+2bx+b^2+a^2+\frac{2a^2b}{x}+\frac{a^2b^2}{x^2} $$

となるから，

$$ \frac{d}{dx}L^2 =2x+2b-\frac{2a^2b}{x^2}-\frac{2a^2b^2}{x^3} $$

である。これが $0$ となる条件は

$$ x+b-\frac{a^2b}{x^2}-\frac{a^2b^2}{x^3}=0 $$

すなわち

$$ x^4+bx^3-a^2bx-a^2b^2=0 $$

である。左辺を因数分解すると，

$$ x^4+bx^3-a^2bx-a^2b^2=(x+b)(x^3-a^2b) $$

となる。

ここで $x>0,\ b>0$ なので $x+b>0$ である。したがって，

$$ x^3=a^2b $$

より，

$$ x=a^{2/3}b^{1/3} $$

を得る。$x=-p$ であったから，

$$ p=-a^{2/3}b^{1/3} $$

である。

また，$x\to 0^+$ のときも $x\to \infty$ のときも $L^2\to \infty$ であり，$x>0$ における臨界点は上の 1 つしかないので，これが $L^2$ を最小にする。

最後に，$p=p_0$ のとき，すなわち $x=a^{2/3}b^{1/3}$ のときの $L^2$ を求める。

まず，

$$ x+b=a^{2/3}b^{1/3}+b=b^{1/3}(a^{2/3}+b^{2/3}) $$

であり，

$$ \begin{aligned} 1+\frac{a^2}{x^2} &=1+\frac{a^2}{a^{4/3}b^{2/3}} \\ &=1+\frac{a^{2/3}}{b^{2/3}} \\ &=\frac{a^{2/3}+b^{2/3}}{b^{2/3}} \end{aligned} $$

である。したがって，

$$ \begin{aligned} L^2 &=(x+b)^2\left(1+\frac{a^2}{x^2}\right) \\ &=\left\{b^{1/3}(a^{2/3}+b^{2/3})\right\}^2 \cdot \frac{a^{2/3}+b^{2/3}}{b^{2/3}} \\ &=(a^{2/3}+b^{2/3})^3 \end{aligned} $$

となる。

ここで $a^{2/3}+b^{2/3}=c^{2/3}$ だから，

$$ L^2=\left(c^{2/3}\right)^3=c^2 $$

である。

解説

この問題では，$P$ が直線 $y=-a$ 上にあり，しかも原点を通る直線の傾きが正であることから，$p<0$ となる点が重要である。したがって $x=-p>0$ と置くと，最小化が素直な微分計算に帰着する。

微分した後に

$$ (x+b)(x^3-a^2b)=0 $$

と因数分解できることが決定的であり，これにより最小値を与える点がただちに求まる。また，設問 （3） の $c$ は，最小値が

$$ (a^{2/3}+b^{2/3})^3 $$

となることを $c^2$ に言い換えるために導入されている。

答え

**(1)**

$$ L^2=(b-p)^2\left(1+\frac{a^2}{p^2}\right) $$

**(2)**

$$ p_0=-a^{2/3}b^{1/3} $$

**(3)**

$$ L^2=c^2 $$