解説

方針・初手

方程式 $2^x=x^2$ は

$$ f(x)=\frac{2^x}{x^2}\qquad (x\ne 0) $$

に対して $f(x)=1$ とみなせる。したがって、まず $f$ の増減を調べるのが自然である。増減が分かれば、実数解の個数は各単調区間ごとに整理できる。

有理数解については、$x$ を既約分数で表し、$2^{m/n}$ が有理数となるための条件を調べる。

解法1

**(1)**

$$ f(x)=x^{-2}2^x \qquad (x\ne 0) $$

より、

$$ \begin{aligned} f'(x) &=(-2x^{-3})2^x+x^{-2}2^x\ln2 \\ &=2^x x^{-3}(x\ln2-2) \end{aligned} $$

となる。

ここで $2^x>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は

$$ \frac{x\ln2-2}{x^3} $$

の符号で決まる。

臨界となる値は $x=0,\ \dfrac{2}{\ln2}$ である。ただし $x=0$ は定義域に含まれない。そこで区間ごとに符号を調べる。

**(i)**

$x<0$ のとき

$x^3<0$ であり、また $x\ln2-2<0$ であるから、

$$ f'(x)>0 $$

である。

**(ii)**

$0<x<\dfrac{2}{\ln2}$ のとき

$x^3>0,\ x\ln2-2<0$ であるから、

$$ f'(x)<0 $$

である。

**(iii)**

$x>\dfrac{2}{\ln2}$ のとき

$x^3>0,\ x\ln2-2>0$ であるから、

$$ f'(x)>0 $$

である。

以上より、

$$ f'(x)>0 \iff x<0 \ \text{または}\ x>\frac{2}{\ln2} $$

である。

**(2)**

方程式 $2^x=x^2$ は $x\ne0$ のもとで

$$ \frac{2^x}{x^2}=1 $$

すなわち $f(x)=1$ と同値である。

（1） より、$f$ は

• $(-\infty,0)$ で単調増加
• $(0,\dfrac{2}{\ln2})$ で単調減少
• $(\dfrac{2}{\ln2},\infty)$ で単調増加

である。

まず負の範囲を見ると、

$$ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0,\qquad \lim_{x\to-0}f(x)=+\infty $$

である。しかも $(-\infty,0)$ で単調増加であるから、$(-\infty,0)$ に解はただ1個存在する。

次に正の範囲では、

$$ f(2)=\frac{2^2}{2^2}=1,\qquad f(4)=\frac{2^4}{4^2}=1 $$

である。

また

$$ \frac12<\ln2<1 $$

より、

$$ 2<\frac{2}{\ln2}<4 $$

である。したがって、$x=2$ は区間 $(0,\dfrac{2}{\ln2})$ に属し、$x=4$ は区間 $(\dfrac{2}{\ln2},\infty)$ に属する。

しかもそれぞれの区間で $f$ は単調であるから、$x=2,\ 4$ は各区間における唯一の解である。

よって、方程式 $2^x=x^2$ は相異なる3個の実数解をもつ。

**(3)**

$x$ が有理数解であるとし、

$$ x=\frac{m}{n}\qquad (m\in\mathbb{Z},\ n\in\mathbb{N},\ \gcd(m,n)=1) $$

とおく。

このとき $2^x=x^2$ より $2^{m/n}$ は有理数である。ここで、$2^{m/n}$ が有理数ならば $n=1$ であることを示す。

$2^{m/n}$ が有理数であれば、その逆数も有理数であるから、$m<0$ の場合も含めて $2^{|m|/n}$ も有理数である。したがって、以下では $m\geqq0$ としてよい。

いま

$$ 2^{m/n}=\frac{a}{b}\qquad (\gcd(a,b)=1) $$

とおくと、

$$ 2^m=\left(\frac{a}{b}\right)^n $$

より

$$ 2^m b^n=a^n $$

を得る。

$\gcd(a,b)=1$ であるから、左辺と右辺の素因数分解を考えると $b=1$ でなければならない。よって

$$ a^n=2^m $$

となる。右辺は素因数 $2$ のみからなるので、$a$ も $2$ の冪である。したがって $n\mid m$ である。

しかし $\gcd(m,n)=1$ であるから、これは

$$ n=1 $$

を意味する。ゆえに、有理数解は整数解に限る。

そこで整数解を求めると、

$$ x=2,\qquad x=4 $$

は実際に解である。

一方、負の実数解は （2） で見たようにただ1個であり、さらに

$$ 2^{-1}=\frac12<1=(-1)^2,\qquad 2^0=1>0^2 $$

であるから、その負の解は $-1$ と $0$ の間にある。したがって、この負の解は整数ではない。

以上より、有理数解は

$$ x=2,\ 4 $$

のみである。

解説

この問題では、方程式 $2^x=x^2$ を直接扱うよりも、

$$ f(x)=\frac{2^x}{x^2} $$

の増減に直して考えるのが本質である。$f'(x)$ の符号が分かれば、$f(x)=1$ の解は各単調区間に高々1個しか存在しないことがただちに分かる。

また、有理数解の判定では、$x=\dfrac{m}{n}$ とおいて $2^{m/n}$ の有理性を調べるのが典型である。ここで分母 $n$ が $1$ に限られることを示せば、問題は整数解の探索に落ちる。

答え

**(1)**

$$ f'(x)>0 \iff x<0 \ \text{または}\ x>\frac{2}{\ln2} $$

**(2)**

方程式 $2^x=x^2$ は相異なる3個の実数解をもつ。

**(3)**

有理数解は

$$ x=2,\ 4 $$

のみである。