解説

方針・初手

$e^{-x}$ と多項式の積であるから，多項式部分を $P(x)$ とおいて

$$ f(x)=e^{-x}P(x) $$

とみなすと，

$$ f'(x)=e^{-x}(P'(x)-P(x)) $$

と整理できる。まずこれで （1） の条件から $a,b$ を求める。ついで （2） では，その $a,b$ を代入して導関数の符号を調べ，増減から最大値・最小値を決める。

解法1

多項式部分を

$$ P(x)=x^2(x^2+ax+b)=x^4+ax^3+bx^2 $$

とおく。

このとき

$$ f(x)=e^{-x}P(x) $$

より，

$$ f'(x)=e^{-x}(P'(x)-P(x)) $$

である。

（1） $a,b$ を求める

まず

$$ f(-1)=e^{-(-1)}\cdot (-1)^2{(-1)^2+a(-1)+b} =e(1-a+b) $$

であるから，条件 $f(-1)=10e$ より

$$ 1-a+b=10 $$

すなわち

$$ -a+b=9 $$

を得る。

次に

$$ P'(x)=4x^3+3ax^2+2bx $$

であるから，

$$ P'(-1)=-4+3a-2b,\qquad P(-1)=1-a+b $$

となる。したがって

$$ f'(-1)=e{P'(-1)-P(-1)} =e{(-4+3a-2b)-(1-a+b)} =e(4a-3b-5) $$

である。条件 $f'(-1)=0$ より

$$ 4a-3b=5 $$

を得る。

よって

$$ \begin{cases} -a+b=9\\ 4a-3b=5 \end{cases} $$

を解けばよい。

1本目から $b=a+9$ であるから，これを2本目に代入すると

$$ 4a-3(a+9)=5 $$

より

$$ a-27=5 $$

すなわち

$$ a=32 $$

である。したがって

$$ b=32+9=41 $$

となる。

（2） $x\geqq 0$ における最大値・最小値

（1） より

$$ f(x)=e^{-x}x^2(x^2+32x+41) $$

である。

導関数は

$$ f'(x)=e^{-x}\left\{(4x^3+96x^2+82x)-(x^4+32x^3+41x^2)\right\} $$

であるから，

$$ f'(x)=e^{-x}(-x^4-28x^3+55x^2+82x) $$

すなわち

$$ f'(x)=-e^{-x}x(x+1)(x^2+27x-82) $$

と因数分解できる。

ここで

$$ x^2+27x-82=0 $$

の解は

$$ x=\frac{-27\pm\sqrt{1057}}{2} $$

であり，$x\geqq 0$ で関係するのは

$$ \alpha=\frac{-27+\sqrt{1057}}{2} $$

のみである。

したがって $x\geqq 0$ においては，$e^{-x}>0,\ x\geqq 0,\ x+1>0$ より，$f'(x)$ の符号は $x^2+27x-82$ の符号で決まる。すなわち

• $0<x<\alpha$ では $x^2+27x-82<0$ なので $f'(x)>0$
• $x>\alpha$ では $x^2+27x-82>0$ なので $f'(x)<0$

である。

よって $f(x)$ は $[0,\alpha]$ で増加し，$[\alpha,\infty)$ で減少する。したがって最大値は $x=\alpha$ でとる。

また $x\geqq 0$ では

$$ x^2\geqq 0,\qquad x^2+32x+41>0,\qquad e^{-x}>0 $$

であるから，

$$ f(x)\geqq 0 $$

であり，しかも $f(0)=0$ である。よって最小値は $0$，そのとき $x=0$ である。

次に最大値を求める。$\alpha$ は

$$ \alpha^2+27\alpha-82=0 $$

を満たすから，

$$ \alpha^2=82-27\alpha $$

である。したがって

$$ \alpha^2+32\alpha+41=(82-27\alpha)+32\alpha+41=123+5\alpha $$

より，

$$ \alpha^2(\alpha^2+32\alpha+41) =(82-27\alpha)(123+5\alpha) =734\alpha-984 $$

となる。よって最大値は

$$ f(\alpha)=e^{-\alpha}\alpha^2(\alpha^2+32\alpha+41) =(734\alpha-984)e^{-\alpha} $$

である。

$\alpha=\dfrac{-27+\sqrt{1057}}{2}$ を代入すると，

$$ 734\alpha-984=367\sqrt{1057}-10893 $$

であり，また

$$ e^{-\alpha}=e^{(27-\sqrt{1057})/2} $$

であるから，最大値は

$$ (367\sqrt{1057}-10893)e^{(27-\sqrt{1057})/2} $$

である。

解説

この問題の要点は，$e^{-x}$ を含む関数の微分で，積のまま計算するよりも

$$ f(x)=e^{-x}P(x) $$

とおいて

$$ f'(x)=e^{-x}(P'(x)-P(x)) $$

とすることである。これにより （1） は連立方程式に落ちる。

（2） では，$x\geqq 0$ において $e^{-x}>0$ であるため，導関数の符号判定は多項式部分だけを見ればよい。さらに $f(x)=e^{-x}x^2(x^2+32x+41)$ は $x\geqq 0$ で常に非負なので，最小値はすぐに $x=0$ と分かる。あとは導関数の符号変化から極大点を1つ見つければよい。

答え

**(1)**

$$ a=32,\qquad b=41 $$

**(2)**

最小値は

$$ 0 $$

であり，そのとき

$$ x=0 $$

である。

最大値は

$$ (367\sqrt{1057}-10893)e^{(27-\sqrt{1057})/2} $$

であり，そのとき

$$ x=\frac{-27+\sqrt{1057}}{2} $$

である。