解説

注意

画像の末項が判別しづらいため，ここでは問題文を

$$ f(x)=(x^2+a)(x-a^2)^2-cx^2 $$

と読み取った場合の解答解説とする。([Miki Ota Niguchi][1])

方針・初手

方程式 $f(x)=0$ をそのまま展開して扱うより，$x\neq 0$ で両辺を $x^2$ で割り，

$$ c=\frac{(x^2+a)(x-a^2)^2}{x^2} $$

とみるのが有効である。すなわち，右辺を $x$ の関数としてその増減を調べれば，直線 $y=c$ との交点の個数として実数解の個数が分かる。

解法1

まず $x=0$ は

$$ f(0)=a^5>0 $$

より解ではない。したがって $x\neq 0$ としてよい。

そこで

$$ g(x)=\frac{(x^2+a)(x-a^2)^2}{x^2} $$

とおくと，

$$ f(x)=0 \iff g(x)=c $$

である。

$g(x)$ を微分すると，

$$ g'(x)=\frac{2(a+x)(x-a^2)(a^2-ax+x^2)}{x^3} $$

を得る。ここで

$$ a^2-ax+x^2=\left(x-\frac a2\right)^2+\frac{3a^2}{4}>0 $$

であるから，$g'(x)$ の符号は

$$ \frac{(a+x)(x-a^2)}{x^3} $$

の符号で決まる。

したがって，$g(x)$ の増減は次のようになる。

• $(-\infty,-a)$ で減少
• $(-a,0)$ で増加
• $(0,a^2)$ で減少
• $(a^2,\infty)$ で増加

また，

$$ \lim_{x\to\pm\infty}g(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to\pm 0}g(x)=+\infty $$

であり，

$$ g(-a)=\frac{(a^2+a)(-a-a^2)^2}{a^2}=a(a+1)^3, \qquad g(a^2)=0 $$

である。

よって $y=g(x)$ の概形から，方程式 $f(x)=0$ の異なる実数解の個数は次の通りである。

**(1)**

$c<0$ のとき 解は $0$ 個。

**(2)**

$c=0$ のとき 解は $1$ 個で，$x=a^2$。

**(3)**

$0<c<a(a+1)^3$ のとき 解は $2$ 個。

**(4)**

$c=a(a+1)^3$ のとき 解は $3$ 個。

**(5)**

$c>a(a+1)^3$ のとき 解は $4$ 個。

以上より，今後扱う「$3$ 個の異なる実数解をもつ場合」は

$$ c=a(a+1)^3 $$

の場合に限る。

このとき $x=-a$ で $g(x)$ は極小値 $a(a+1)^3$ をとるので，$x=-a$ は重解である。実際に $c=a(a+1)^3$ を代入すると，

$$ f(x)=(x^2+a)(x-a^2)^2-a(a+1)^3x^2 $$

であり，これを因数分解すると

$$ f(x)=(x+a)^2\left(x^2-2a(a+1)x+a^3\right) $$

となる。

したがって残りの解は

$$ x^2-2a(a+1)x+a^3=0 $$

の解であり，

$$ x=a(a+1)\pm \sqrt{a^2(a+1)^2-a^3} $$

すなわち

$$ x=a(a+1)\pm a\sqrt{a^2+a+1} $$

である。

よって $3$ 個の異なる実数解は

$$ x=-a,\quad x=a(a+1)-a\sqrt{a^2+a+1},\quad x=a(a+1)+a\sqrt{a^2+a+1} $$

である。

次に面積 $S(a)$ を求める。

小さい方の正の解を

$$ r(a)=a(a+1)-a\sqrt{a^2+a+1} $$

とおく。$f(x)$ は

$$ f(x)=(x+a)^2(x-r(a))\left(x-a(a+1)-a\sqrt{a^2+a+1}\right) $$

と書けるので，$f(x)\geq 0$ で $x$ 軸と囲まれる有界な部分は $x=-a$ から $x=r(a)$ までの部分である。したがって

$$ S(a)=\int_{-a}^{r(a)} f(x),dx $$

である。

ここで $x=at$ とおくと $dx=a,dt$ であり，

$$ r(a)=a\left(a+1-\sqrt{a^2+a+1}\right) $$

だから

$$ \frac{r(a)}{a}=a+1-\sqrt{a^2+a+1}\to 0 \qquad (a\to +0) $$

である。また，

$$ f(at)=a^4(t+1)^2\bigl(t^2-2t+a(1-2t)\bigr) $$

となるので，

$$ \begin{aligned} \frac{S(a)}{a^5} &= \int_{-1}^{,a+1-\sqrt{a^2+a+1}} (t+1)^2\bigl(t^2-2t+a(1-2t)\bigr),dt \end{aligned} $$

を得る。

$a\to +0$ とすると，上端は $0$ に近づき，被積分関数は

$$ (t+1)^2t(t-2) $$

に収束する。したがって

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to +0}\frac{S(a)}{a^5} &= \int_{-1}^{0}(t+1)^2t(t-2),dt \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ (t+1)^2t(t-2)=t^4-3t^2-2t $$

より，

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{0}(t^4-3t^2-2t),dt &= \left[\frac{t^5}{5}-t^3-t^2\right]_{-1}^{0} \\ \frac15 \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の本質は，$f(x)=0$ を「$x$ の方程式」として直接処理するのではなく，

$$ c=\frac{(x^2+a)(x-a^2)^2}{x^2} $$

という形に直して，媒介変数 $c$ を水平線として見る点にある。すると実数解の個数は関数 $g(x)$ の極小値の個数と位置関係だけで決まる。

また，$3$ 個の異なる実数解をもつのは，水平線 $y=c$ が極小点 $(-a,\ a(a+1)^3)$ に接するときであり，そのとき $x=-a$ が重解になる。この見方ができると，(2) の因数分解や (3) の面積計算も自然につながる。

答え

$$ \text{異なる実数解の個数}= \begin{cases} 0 & (c<0),\\ 1 & (c=0),\\ 2 & (0<c<a(a+1)^3),\\ 3 & (c=a(a+1)^3),\\ 4 & (c>a(a+1)^3). \end{cases} $$

$3$ 個の異なる実数解をもつのは

$$ c=a(a+1)^3 $$

のときであり，その $3$ 個の実数解は

$$ x=-a,\quad x=a(a+1)-a\sqrt{a^2+a+1},\quad x=a(a+1)+a\sqrt{a^2+a+1} $$

である。

さらに，

$$ \lim_{a\to +0}\frac{S(a)}{a^5}=\frac15 $$

である。

[1]: https://mikiotaniguchi.com/image/16/16021104.pdf?utm_source=chatgpt.com "f(x)=(x2 + a)(x - a 2)2 - cx2 S(a) a5"