解説

方針・初手

（1） は $x+y=c$ が一定のときの $(1+\frac1x)(1+\frac1y)$ の最小値である。展開すると $xy$ だけの問題になるので、$x+y$ 一定のもとでの $xy$ の最大値を使えばよい。

（2） は $z$ を固定すると $x+y=1-z$ となるので、（1） の結果をそのまま利用できる。ただし $1-\frac{4}{3z}<0$ であることに注意し、符号によって不等式の向きが反転する点を丁寧に処理する。

解法1

**(1)**

$$ \left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right) =1+\frac1x+\frac1y+\frac1{xy} =1+\frac{x+y}{xy}+\frac1{xy} =1+\frac{c+1}{xy} $$

したがって、これを最小にするには $xy$ を最大にすればよい。

$x,y>0,\ x+y=c$ より、相加平均・相乗平均の関係から

$$ xy\le \left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\frac{c^2}{4} $$

であり、等号は $x=y=\frac c2$ のときに成り立つ。

よって

$$ \left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right) \ge 1+\frac{4(c+1)}{c^2} =\frac{c^2+4c+4}{c^2} =\left(\frac{c+2}{c}\right)^2 $$

したがって最小値は

$$ \left(\frac{c+2}{c}\right)^2 $$

である。

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**(2)**

求める式を

$$ F=\left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right)\left(1-\frac{4}{3z}\right) $$

とおく。

$x,y,z>0,\ x+y+z=1$ より $0<z<1$ である。したがって

$$ 1-\frac{4}{3z}<0 $$

である。

ここで $z$ を固定すると $x+y=1-z$ であるから、（1） において $c=1-z$ とすれば

$$ \left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right) \ge \left(\frac{(1-z)+2}{1-z}\right)^2 =\left(\frac{3-z}{1-z}\right)^2 $$

となる。

ただし今は $1-\frac{4}{3z}<0$ なので、両辺にこれを掛けると不等式の向きが反転して

$$ F\le \left(\frac{3-z}{1-z}\right)^2\left(1-\frac{4}{3z}\right) =:g(z) $$

を得る。等号は （1） の等号条件より

$$ x=y=\frac{1-z}{2} $$

のときに成り立つ。

よって、あとは $0<z<1$ で $g(z)$ の最大値を求めればよい。

$$ g(z)=\left(\frac{3-z}{1-z}\right)^2\left(1-\frac{4}{3z}\right) =\frac{(3-z)^2(3z-4)}{3z(1-z)^2} $$

これを微分すると

$$ g'(z)=\frac{4(z-3)(2z-3)(2z-1)}{3z^2(z-1)^3} $$

となる。

$0<z<1$ においては $z-3<0,\ 2z-3<0,\ (z-1)^3<0$ であるから、$g'(z)$ の符号は $2z-1$ の符号と逆になる。すなわち

• （i） $0<z<\frac12$ のとき $g'(z)>0$
• （ii） $\frac12<z<1$ のとき $g'(z)<0$

である。

したがって $g(z)$ は $z=\frac12$ で最大となる。

このとき

$$ x=y=\frac{1-z}{2}=\frac14 $$

であり、

$$ F=\left(1+\frac{1}{1/4}\right)^2\left(1-\frac{4}{3\cdot(1/2)}\right) =5^2\left(1-\frac83\right) =25\cdot\left(-\frac53\right) =-\frac{125}{3} $$

となる。

よって最大値は

$$ -\frac{125}{3} $$

である。

解説

（1） は $x+y$ 一定のときの $xy$ の最大値が $\frac{c^2}{4}$ であることを使う典型題である。式を展開して、結局は $xy$ だけの問題に落とすのが基本方針である。

（2） の要点は、まず $z$ を固定して $x+y=1-z$ にすること、次に （1） を利用することである。ただし第3因子 $1-\frac{4}{3z}$ は常に負なので、最小値ではなく最大値を考えるときに不等式の向きが反転する。この符号処理を落とすと誤答になる。

答え

**(1)**

最小値は

$$ \left(\frac{c+2}{c}\right)^2 $$

である。

**(2)**

最大値は

$$ -\frac{125}{3} $$

である。