解説

注意

ユーザー文では「$yz$ 平面」とあるが，画像の問題文は「$xy$ 平面」である。しかも点光源 $L(0,0,1+\sqrt2)$ は $yz$ 平面上にあるので，もし本当に $yz$ 平面への影を考えるなら影は退化して面積をもたない。したがって，以下では画像の記載どおり「$xy$ 平面への影」として解く。

方針・初手

$A$ と光源 $L$ はともに $z$ 軸上にあるので，$z$ 軸まわりの回転によって図形全体の条件は変わらない。したがって，$B,C$ をうまく置き直して計算しやすい形にする。

そのうえで，点光源 $L$ から $xy$ 平面への射影を求め，影の面積を $1$ 変数で表して最大化する。

解法1

$B,C$ の $z$ 座標が等しいので，回転により $BC$ を $x$ 軸に平行にして

$$ B\left(\frac12,s,1+t\right),\qquad C\left(-\frac12,s,1+t\right) $$

とおいてよい。ただし $s\geqq 0$ とする。

このとき $BC=1$ は自動的に成り立つ。さらに $AB=1$ より

$$ \left(\frac12\right)^2+s^2+t^2=1 $$

すなわち

$$ s^2+t^2=\frac34 $$

を得る。

次に，光源 $L(0,0,1+\sqrt2)$ から点 $P(x,y,1+t)$ へ引いた直線と $xy$ 平面 $z=0$ との交点を求める。 直線 $LP$ を

$$ (0,0,1+\sqrt2)+u\bigl(x,y,t-\sqrt2\bigr) $$

と表すと，$z=0$ となるのは

$$ 1+\sqrt2+u(t-\sqrt2)=0 $$

より

$$ u=\frac{1+\sqrt2}{\sqrt2-t} $$

のときである。したがって，$P$ の影は

$$ \left(\frac{1+\sqrt2}{\sqrt2-t}x,\ \frac{1+\sqrt2}{\sqrt2-t}y,\ 0\right) $$

となる。

よって $A,B,C$ の影をそれぞれ $A',B',C'$ とすると，

$$ A'=(0,0,0), $$

$$ B'=\left(\frac{\lambda}{2},\lambda s,0\right),\qquad C'=\left(-\frac{\lambda}{2},\lambda s,0\right) \quad \left(\lambda=\frac{1+\sqrt2}{\sqrt2-t}\right) $$

である。

したがって影の面積 $S$ は

$$ S=\frac12\cdot B'C'\cdot (\text{$A'$ から直線 $B'C'$ への距離}) =\frac12\cdot \lambda \cdot \lambda s =\frac{\lambda^2 s}{2} $$

となる。ここで $s=\sqrt{\frac34-t^2}$ であるから，

$$ S(t)=\frac{(1+\sqrt2)^2}{2(\sqrt2-t)^2}\sqrt{\frac34-t^2} \qquad \left(-\frac{\sqrt3}{2}\leqq t\leqq \frac{\sqrt3}{2}\right) $$

を得る。

あとは

$$ f(t)=\frac{\sqrt{\frac34-t^2}}{(\sqrt2-t)^2} $$

を最大化すればよい。対数微分を用いると，

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dt}\log f(t) &= -\frac{t}{\frac34-t^2}+\frac{2}{\sqrt2-t} \end{aligned} $$

であるから，極値条件は

$$ -\frac{t}{\frac34-t^2}+\frac{2}{\sqrt2-t}=0 $$

すなわち

$$ 2\left(\frac34-t^2\right)=t(\sqrt2-t) $$

より

$$ t^2+\sqrt2,t-\frac32=0 $$

となる。これを解くと

$$ t=\frac1{\sqrt2},\ -\frac{3}{\sqrt2} $$

であるが，後者は範囲外である。したがって極値は

$$ t=\frac1{\sqrt2} $$

でとる。

このとき

$$ s=\sqrt{\frac34-\frac12}=\frac12, \qquad \lambda=\frac{1+\sqrt2}{\sqrt2-\frac1{\sqrt2}} =2+\sqrt2 $$

であるから，

$$ S_{\max}=\frac{\lambda^2 s}{2} =\frac{(2+\sqrt2)^2}{4} =\frac{3+2\sqrt2}{2} $$

となる。

解説

この問題の本質は，条件「$B,C$ の $z$ 座標が等しい」を使って，$B,C$ を同じ高さにある左右対称な点として置けることである。これにより，正三角形の条件が

$$ s^2+t^2=\frac34 $$

という単純な関係に落ちる。

また，点光源から平面への影は相似拡大として表せる。今回は $B,C$ が同じ高さにあるため，$xy$ 平面への影でも $B',C'$ は同じ倍率 $\lambda$ で拡大され，面積は $\lambda^2$ 倍になる。この見通しを持つと計算が整理しやすい。

答え

影の面積の最大値は

$$ \frac{3+2\sqrt2}{2} $$

である。