解説

方針・初手

内接円の半径が $1$ であるから、面積 $S$ は

$$ S=rs=s $$

であり、半周長 $s$ に等しい。そこで、内接円の接点を用いて各辺の長さを角の半分で表し、まず $S$ を $\theta$ で表す。その後、和が一定である2つの角に対する三角比の性質を使って最小値を求める。

解法1

内心を $I$ とし、内接円が辺 $BC,CA,AB$ と接する点をそれぞれ $D,E,F$ とする。

接線の長さの性質より、

$$ AF=AE,\quad BF=BD,\quad CE=CD $$

である。

また、$IF=IE=ID=1$ であり、$AI,BI,CI$ はそれぞれ角の二等分線であるから、直角三角形 $AIF,BIF,CIE$ において

$$ AF=\cot \frac{A}{2},\quad BF=\cot \frac{B}{2},\quad CE=\cot \frac{C}{2} $$

となる。

ここで

$$ A=\frac{\pi}{3},\quad B=2\theta,\quad C=\pi-\frac{\pi}{3}-2\theta=\frac{2\pi}{3}-2\theta $$

である。

**(1)**

$\theta$ の範囲

三角形の内角であるから

$$ 2\theta>0,\quad \frac{2\pi}{3}-2\theta>0 $$

である。したがって

$$ 0<\theta<\frac{\pi}{3} $$

となる。

**(2)**

$S$ を $\theta$ で表す

まず

$$ AF=\cot \frac{\pi}{6}=\sqrt{3},\quad BF=\cot \theta,\quad CE=\cot \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) $$

である。

各辺は

$$ AB=AF+BF,\quad BC=BD+CD=BF+CE,\quad CA=CE+EA=CE+AF $$

より、周長は

$$ AB+BC+CA=2(AF+BF+CE) $$

となる。よって半周長 $s$ は

$$ s=AF+BF+CE=\sqrt{3}+\cot\theta+\cot\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) $$

である。

内接円の半径が $1$ なので

$$ S=rs=s $$

より、

$$ S=\sqrt{3}+\cot\theta+\cot\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) $$

となる。

さらに、恒等式

$$ \cot x+\cot y=\frac{\sin(x+y)}{\sin x\sin y} $$

を用いると、$x=\theta,\ y=\dfrac{\pi}{3}-\theta$ として

$$ \cot\theta+\cot\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) =\frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\sin\theta\sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)} =\frac{\sqrt{3}/2}{\sin\theta\sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)} $$

であるから、

$$ S=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}/2}{\sin\theta\sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)} $$

としてもよい。

**(3)**

$S$ の最小値

$\theta+\left(\dfrac{\pi}{3}-\theta\right)=\dfrac{\pi}{3}$ は一定であるから、

$$ \sin\theta\sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) $$

は $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ のとき最大となる。その最大値は

$$ \sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{6}=\frac14 $$

である。

したがって

$$ \cot\theta+\cot\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) =\frac{\sqrt{3}/2}{\sin\theta\sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)} \ge \frac{\sqrt{3}/2}{1/4}=2\sqrt{3} $$

となるので、

$$ S=\sqrt{3}+\cot\theta+\cot\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)\ge 3\sqrt{3} $$

である。等号は

$$ \theta=\frac{\pi}{6} $$

のとき成立する。

ゆえに、$S$ の最小値は

$$ 3\sqrt{3} $$

である。

解説

この問題の本質は、内接円の半径が与えられているときに面積 $S$ を半周長 $s$ に結びつけることである。$S=rs$ を使えば、辺そのものを求めるよりも、接点までの長さを $\cot \dfrac{\text{角}}{2}$ で表すほうが自然である。

最小値の部分では、

$$ \theta+\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)=\frac{\pi}{3} $$

が一定であることに注目し、$\sin\theta\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-\theta\right)$ が対称性から $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ で最大になると見るのが典型である。したがって、その逆数で表される $S$ はそこで最小になる。

答え

**(1)**

$$ 0<\theta<\frac{\pi}{3} $$

**(2)**

$$ S=\sqrt{3}+\cot\theta+\cot\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) $$

**(3)**

$$ S_{\min}=3\sqrt{3} $$

このとき

$$ \theta=\frac{\pi}{6} $$

である。