解説

方針・初手

点 $P$ の $x$ 座標を $a$ とおくと、接線の傾きも $a$ で表せる。そこでまず接線の方程式を求め、$x$ 軸との交点 $Q$ を具体的に出す。

そのうえで $PQ$ の長さ $L$ を $a$ で表し、$a^2=t,(>0)$ とおいて最小値を調べるのが自然である。

解法1

曲線上の点 $P$ を

$$ P\left(a,\frac{a^2+1}{2}\right) $$

とおく。

このとき

$$ y=\frac{1}{2}(x^2+1) $$

の導関数は

$$ y'=x $$

であるから、点 $P$ における接線の傾きは $a$ である。

したがって接線の方程式は

$$ y-\frac{a^2+1}{2}=a(x-a) $$

すなわち

$$ y=ax+\frac{1-a^2}{2} $$

である。

この接線が $x$ 軸と交わるので、$a=0$ ではない。実際、$a=0$ のとき接線は $y=\frac12$ となり、$x$ 軸と交わらない。

さて、$Q$ はこの接線と $x$ 軸との交点であるから、$y=0$ として

$$ 0=ax+\frac{1-a^2}{2} $$

より

$$ x=\frac{a^2-1}{2a} $$

である。よって

$$ Q\left(\frac{a^2-1}{2a},0\right) $$

となる。

ここで、$PQ$ の長さ $L$ は

$$ L^2=\left(a-\frac{a^2-1}{2a}\right)^2+\left(\frac{a^2+1}{2}\right)^2 $$

である。

第1項を整理すると

$$ a-\frac{a^2-1}{2a} =\frac{2a^2-(a^2-1)}{2a} =\frac{a^2+1}{2a} $$

だから、

$$ L^2=\left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^2+\left(\frac{a^2+1}{2}\right)^2 $$

$$ =\frac{(a^2+1)^2}{4}\left(\frac{1}{a^2}+1\right) =\frac{(a^2+1)^3}{4a^2} $$

となる。

ここで

$$ t=a^2 \quad (t>0) $$

とおくと、

$$ L^2=\frac{(t+1)^3}{4t} $$

である。したがって

$$ f(t)=\frac{(t+1)^3}{4t} $$

の最小値を求めればよい。

微分すると

$$ f'(t)=\frac{1}{4}\left(2t+3-\frac{1}{t^2}\right) $$

であるから、

$$ f'(t)=0 $$

より

$$ 2t+3-\frac{1}{t^2}=0 $$

$$ \iff 2t^3+3t^2-1=0 $$

となる。これは

$$ 2t^3+3t^2-1=(t-\tfrac12),2(t+1)^2 $$

と因数分解できるので、$t>0$ における臨界点は

$$ t=\frac12 $$

のみである。よってここで最小値をとる。

したがって

$$ L^2=\frac{\left(\frac32\right)^3}{4\cdot \frac12} =\frac{27}{16} $$

より

$$ L=\frac{3\sqrt3}{4} $$

である。

解説

接線の長さを扱う問題では、接点の $x$ 座標を文字で置いて接線を式で表すのが基本である。

この問題では、長さそのものよりも $L^2$ を計算した方が整理しやすい。また、最終的に $a^2$ だけで表されるので、$t=a^2$ と置いて一変数の最小値問題に落とすのがポイントである。

なお、$a=0$ のときは接線が $x$ 軸と交わらないので、最初に除外しておく必要がある。

答え

$$ L_{\min}=\frac{3\sqrt3}{4} $$