解説

方針・初手

（1） は微分して増減を調べればよい。

（2） はまず微分して極値の候補を求める。$g''(x)>0$ となるので、$g(x)$ は下に凸であり、極小点が存在すればそれが最小値を与える。微分方程式 $g'(x)=0$ は、$e^{ax}$ を文字で置くときれいに解ける。

解法1

**(1)**

$$ f(t)=\frac{\log t}{t}\qquad (t>0) $$

とおく。微分すると

$$ f'(t)=\frac{\frac{1}{t}\cdot t-\log t}{t^2} =\frac{1-\log t}{t^2} $$

である。

$t>0$ では $t^2>0$ であるから、$f'(t)$ の符号は $1-\log t$ の符号で決まる。したがって

• $0<t<e$ のとき $f'(t)>0$
• $t=e$ のとき $f'(t)=0$
• $t>e$ のとき $f'(t)<0$

となる。

よって $f(t)$ は $t=e$ で最大となり、その最大値は

$$ f(e)=\frac{\log e}{e}=\frac{1}{e} $$

である。

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**(2)**

$$ g(x)=e^{ax}+2e^{-ax}+(2-a^2)x \qquad (0\leqq x\leqq 1,\ a>0) $$

とする。

まず微分すると

$$ g'(x)=ae^{ax}-2ae^{-ax}+(2-a^2) $$

であり、さらに

$$ g''(x)=a^2e^{ax}+2a^2e^{-ax}>0 $$

である。

したがって $g(x)$ は下に凸であり、$g'(x)=0$ を満たす点が区間内にあれば、そこで最小となる。

ここで $g'(x)=0$ を解く。

$$ ae^{ax}-2ae^{-ax}+(2-a^2)=0 $$

両辺に $e^{ax}$ を掛けると

$$ ae^{2ax}+(2-a^2)e^{ax}-2a=0 $$

となる。ここで

$$ y=e^{ax}\ (>0) $$

とおくと

$$ ay^2+(2-a^2)y-2a=0 $$

である。これは

$$ a(y-a)\left(y+\frac{2}{a}\right)=0 $$

と因数分解できるから、$y>0$ より

$$ y=a $$

しかありえない。よって

$$ e^{ax}=a $$

すなわち

$$ x=\frac{\log a}{a} $$

が極値の候補である。

ここで場合分けする。

**(i)**

$0<a<1$ のとき

このとき $\log a<0$ なので

$$ \frac{\log a}{a}<0 $$

となり、極値の候補は区間 $[0,1]$ の外にある。

しかも $g''(x)>0$ より $g'(x)$ は単調増加であり、

$$ g'(0)=a-2a+2-a^2=2-a-a^2=(1-a)(a+2)>0 $$

だから、$0\leqq x\leqq 1$ で常に $g'(x)>0$ となる。したがって $g(x)$ は区間全体で増加し、最小値は $x=0$ でとる。

$$ g(0)=1+2=3 $$

よって最小値は $3$ である。

**(ii)**

$a\geqq 1$ のとき

このとき $\log a\geqq 0$ である。また （1） より

$$ \frac{\log a}{a}\leqq \frac{1}{e}<1 $$

であるから

$$ 0\leqq \frac{\log a}{a}\leqq 1 $$

となり、極値の候補 $x=\dfrac{\log a}{a}$ は区間内にある。

さらに $g''(x)>0$ であるから、この点で最小となる。したがって

$$ x=\frac{\log a}{a} $$

のとき

$$ e^{ax}=a,\qquad e^{-ax}=\frac{1}{a} $$

より

$$ g!\left(\frac{\log a}{a}\right) =a+\frac{2}{a}+(2-a^2)\frac{\log a}{a} $$

である。

よって $a\geqq 1$ のときの最小値は

$$ a+\frac{2}{a}+\frac{2-a^2}{a}\log a $$

である。

なお $a=1$ のときは

$$ 1+2+\frac{2-1}{1}\log 1=3 $$

となり、（i） と一致する。

解説

（1） は典型的な微分による最大値問題である。$\dfrac{\log t}{t}$ の形は頻出で、極値を与える $t=e$ はよく現れる。

（2） の要点は、微分方程式 $g'(x)=0$ をそのまま無理に解こうとせず、$e^{ax}$ を $y$ とおくことで二次方程式に落とすことである。さらに （1） の結果 $\dfrac{\log a}{a}\leqq \dfrac{1}{e}$ を使うと、極小点が区間 $[0,1]$ に入るかどうかの判定が簡潔になる。

答え

**(1)**

最大値は

$$ \frac{1}{e} $$

である。

**(2)**

最小値は

$$ \begin{cases} 3 & (0<a\leqq 1),\\[1mm] a+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2-a^2}{a}\log a & (a\geqq 1) \end{cases} $$

である。