解説

方針・初手

$f(x)=(\cos x)e^{\sqrt{2}\sin x}$ であり、区間 $-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $\cos x\geqq 0$ である。したがって （1） はそのまま定積分で面積を求めればよい。

また、接線や最大値には微分を用いる。指数関数部分は常に正なので、$f'(x)$ の符号は中身 $-\sin x+\sqrt{2}\cos^2 x$ の符号で判定できる。

解法1

（1） 面積を求める。

区間 $-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で $\cos x\geqq 0$ より、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\cos x)e^{\sqrt{2}\sin x},dx $$

である。

ここで

$$ u=\sqrt{2}\sin x $$

とみると、

$$ du=\sqrt{2}\cos x,dx $$

であるから、

$$ \int (\cos x)e^{\sqrt{2}\sin x},dx =\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\sqrt{2}\sin x} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} S &=\left[\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\sqrt{2}\sin x}\right]_{x=-\pi/2}^{x=\pi/2} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{\sqrt{2}}-e^{-\sqrt{2}}\right). \end{aligned} $$

したがって、求める面積は

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{\sqrt{2}}-e^{-\sqrt{2}}\right) $$

である。

**(2)**

$x=-\dfrac{\pi}{4}$ における接線を求める。

まず微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &=(-\sin x)e^{\sqrt{2}\sin x}+(\cos x)e^{\sqrt{2}\sin x}\cdot \sqrt{2}\cos x \\ &=e^{\sqrt{2}\sin x}\left(-\sin x+\sqrt{2}\cos^2 x\right). \end{aligned} $$

次に、点の座標を求める。

$$ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} $$

より、

$$ f\left(-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-1} =\frac{\sqrt{2}}{2e}. $$

また、接線の傾きは

$$ \begin{aligned} f'\left(-\frac{\pi}{4}\right) &=e^{-1}\left(-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\right) \\ &=e^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &=\frac{\sqrt{2}}{e}. \end{aligned} $$

したがって、接線の方程式は

$$ y-\frac{\sqrt{2}}{2e} =\frac{\sqrt{2}}{e}\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

である。

**(3)**

$f(x)$ の最大値を求める。

$f(x)>0$ であるから、$f'(x)=0$ を解いて極値を調べればよい。

$$ f'(x)=e^{\sqrt{2}\sin x}\left(-\sin x+\sqrt{2}\cos^2 x\right) $$

であり、指数関数部分は常に正なので、

$$ -\sin x+\sqrt{2}\cos^2 x=0 $$

を解けばよい。ここで $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ を用いると、

$$ -\sin x+\sqrt{2}(1-\sin^2 x)=0 $$

すなわち

$$ \sqrt{2}\sin^2 x+\sin x-\sqrt{2}=0 $$

となる。$t=\sin x$ とおくと、

$$ \sqrt{2}t^2+t-\sqrt{2}=0 $$

であるから、

$$ t=\frac{-1\pm 3}{2\sqrt{2}} $$

より

$$ t=\frac{1}{\sqrt{2}},\quad t=-\sqrt{2} $$

を得る。このうち $t=-\sqrt{2}$ は不適であるので、

$$ \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

より

$$ x=\frac{\pi}{4} $$

である。

さらに、端点では

$$ f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 $$

であり、$x=\dfrac{\pi}{4}$ では

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) =\cos\frac{\pi}{4}\cdot e^{\sqrt{2}\sin(\pi/4)} =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot e =\frac{e}{\sqrt{2}}. $$

したがって、最大値は

$$ \frac{e}{\sqrt{2}} $$

である。

解説

この問題の要点は、$e^{\sqrt{2}\sin x}$ の微分で $\cos x$ が現れるため、積分でも微分でも $\sin x$ を中心に見ることである。

（1） では $\cos x\geqq 0$ に気づけば、絶対値を考える必要がなく、そのまま置換積分で処理できる。

（2） では積の微分を正確に行うことが重要である。

（3） では $f'(x)$ に共通因子 $e^{\sqrt{2}\sin x}$ があるが、これは常に正であるから、極値判定は $-\sin x+\sqrt{2}\cos^2 x$ だけを見れば足りる。この見方が計算を簡潔にする。

答え

**(1)**

面積

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{\sqrt{2}}-e^{-\sqrt{2}}\right) $$

**(2)**

接線の方程式

$$ y-\frac{\sqrt{2}}{2e} =\frac{\sqrt{2}}{e}\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

**(3)**

最大値

$$ \frac{e}{\sqrt{2}} $$