解説

方針・初手

（1） は導関数を求め、その符号を区間 $-\dfrac{\pi}{4}\le x\le \dfrac{\pi}{4}$ で調べればよい。

（2） は導関数 $g'(x)$ を （1） で定めた $f(x)$ を用いて表すのが有効である。すると $g'(x)$ の符号変化が分かり、$g(x)$ の増減から解の個数を確定できる。

解法1

**(1)**

$$ f(x)=e^{4x}\cos^2 x $$

より、積の微分法から

$$ f'(x)=4e^{4x}\cos^2 x+e^{4x}\cdot 2\cos x(-\sin x) $$

である。したがって

$$ f'(x)=e^{4x}(4\cos^2 x-2\sin x\cos x) =2e^{4x}\cos^2 x(2-\tan x) $$

となる。

ここで、$-\dfrac{\pi}{4}\le x\le \dfrac{\pi}{4}$ では $\cos x>0$ であり、また

$$ -!1\le \tan x\le 1 $$

が成り立つ。よって

$$ 2-\tan x\ge 1>0 $$

であるから、

$$ f'(x)=2e^{4x}\cos^2 x(2-\tan x)>0 $$

となる。

したがって、$f(x)$ は $-\dfrac{\pi}{4}\le x\le \dfrac{\pi}{4}$ において増加する。

**(2)**

$$ g(x)=e^{4x}-2-\tan x $$

とおくと、

$$ g'(x)=4e^{4x}-\frac{1}{\cos^2 x} $$

である。ここで （1） の $f(x)=e^{4x}\cos^2 x$ を用いると、

$$ g'(x)=\frac{4e^{4x}\cos^2 x-1}{\cos^2 x} =\frac{4f(x)-1}{\cos^2 x} $$

と書ける。

区間 $-\dfrac{\pi}{4}\le x\le \dfrac{\pi}{4}$ では $\cos x>0$ だから、$\cos^2 x>0$ である。したがって $g'(x)$ の符号は $4f(x)-1$ の符号と一致する。

しかるに （1） より $f(x)$ はこの区間で増加するから、$4f(x)-1$ も増加する。

さらに、端点での値を調べると

$$ 4f\left(-\frac{\pi}{4}\right)-1 =4e^{-\pi}\cos^2\frac{\pi}{4}-1 =2e^{-\pi}-1<0 $$

$$ 4f\left(\frac{\pi}{4}\right)-1 =4e^{\pi}\cos^2\frac{\pi}{4}-1 =2e^{\pi}-1>0 $$

である。よって、増加関数 $4f(x)-1$ は区間内でただ1回だけ $0$ になる。これを $x=\alpha$ とすると、

$$ g'(\alpha)=0 $$

であり、

• $-\dfrac{\pi}{4}\le x<\alpha$ では $g'(x)<0$
• $\alpha<x\le \dfrac{\pi}{4}$ では $g'(x)>0$

となる。したがって $g(x)$ は $x=\alpha$ まで減少し、その後増加する。

次に端点の値を調べる。

$$ g\left(-\frac{\pi}{4}\right)=e^{-\pi}-2-\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=e^{-\pi}-1<0 $$

$$ g\left(\frac{\pi}{4}\right)=e^{\pi}-2-\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=e^{\pi}-3>0 $$

である。

$g(x)$ は $-\dfrac{\pi}{4}\le x\le \alpha$ で減少するから、この区間では

$$ g(x)\le g\left(-\frac{\pi}{4}\right)<0 $$

となり、解は存在しない。

一方、$g(x)$ は $\alpha\le x\le \dfrac{\pi}{4}$ で増加し、

$$ g(\alpha)<0,\qquad g\left(\frac{\pi}{4}\right)>0 $$

であるから、中間値の定理より $(\alpha,\dfrac{\pi}{4})$ に方程式 $g(x)=0$ の解が存在する。しかもこの区間で $g(x)$ は単調増加であるから、その解はただ1つである。

以上より、方程式 $g(x)=0$ は

$$ -\frac{\pi}{4}\le x\le \frac{\pi}{4} $$

においてただ1つの実数解をもつ。

解説

（1） の増加性は、単に導関数を計算するだけでなく、区間内で $\tan x\le 1$ を使って符号を確定するのが要点である。

（2） では $g'(x)$ を直接見ると扱いづらいが、

$$ g'(x)=\frac{4f(x)-1}{\cos^2 x} $$

と変形すると、（1） の結果をそのまま利用できる。すなわち、$f$ の増加性から $g'$ の符号変化がただ1回であることが分かり、$g$ が「減少してから増加する」形になる。そこへ端点での符号を組み合わせることで、解がちょうど1個であることが確定する。

答え

**(1)**

$f(x)=e^{4x}\cos^2 x$ は $-\dfrac{\pi}{4}\le x\le \dfrac{\pi}{4}$ において増加する。

**(2)**

方程式 $g(x)=0$ は $-\dfrac{\pi}{4}\le x\le \dfrac{\pi}{4}$ においてただ1つの実数解をもつ。