解説

方針・初手

まず $f(x)=x-\tan x$ を $-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$ で考え，その単調性と両端での極限を調べる。これにより （1） は直ちに処理できる。

（2） では，$y=\sin x$ 上の点 $x=u$ における接線の方程式を明示し，それが別の点 $x=s$ における接線と一致する条件を調べる。接線の傾きと切片を比較するのが最短である。

解法1

**(1)**

$f(x)=x-\tan x$ とおく。ただし

$$ -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} $$

である。

このとき

$$ f'(x)=1-\frac{1}{\cos^2 x}=-\tan^2 x\leqq 0 $$

である。さらに，任意の $x_1<x_2$ に対して

$$ f(x_2)-f(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f'(x),dx =-\int_{x_1}^{x_2}\tan^2 x,dx<0 $$

となる。したがって $f$ は区間 $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ で狭義単調減少である。

また，

$$ \lim_{x\to -\frac{\pi}{2}+0}(x-\tan x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0}(x-\tan x)=-\infty $$

である。

よって中間値の定理より，任意の実数 $a$ に対して方程式

$$ x-\tan x=a $$

は区間 $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ に少なくとも1個の解をもつ。さらに $f$ は狭義単調減少であるから，その解は高々1個である。

したがって，$|x|<\dfrac{\pi}{2}$ をみたす実数解はちょうど1個である。

---

**(2)**

（1） より，任意の自然数 $n$ に対して方程式

$$ x-\tan x=n\pi,\qquad |x|<\frac{\pi}{2} $$

をみたす実数 $x$ はただ1個存在する。これを $x_n$ とする。

いま $|t|<\dfrac{\pi}{2}$ とし，曲線 $C:y=\sin x$ 上の点 $P(t,\sin t)$ における接線を考える。$x=u$ における $C$ の接線は

$$ y=\cos u,(x-u)+\sin u $$

すなわち

$$ \ell_u:\ y=\cos u,x+\sin u-u\cos u $$

である。

点 $P(t,\sin t)$ における接線が，さらに $x\geqq \dfrac{\pi}{2}$ の領域にある点でも $C$ と接するとは，ある実数 $s\geqq \dfrac{\pi}{2}$ が存在して

$$ \ell_s=\ell_t $$

となることにほかならない。

接線が一致するための条件は，$x$ の係数と定数項が一致することより

$$ \cos s=\cos t $$

かつ

$$ \sin s-s\cos s=\sin t-t\cos t $$

である。

ここで $\cos s=\cos t$ より，ある整数 $k$ を用いて

$$ s=2k\pi+t \qquad \text{または} \qquad s=2k\pi-t $$

と表せる。

**(i)**

$s=2k\pi+t$ の場合

このとき $\sin s=\sin t,\ \cos s=\cos t$ なので，

$$ \sin s-s\cos s=\sin t-(2k\pi+t)\cos t $$

である。これが $\sin t-t\cos t$ に等しいから

$$ 2k\pi\cos t=0 $$

となる。

ところが $|t|<\dfrac{\pi}{2}$ より $\cos t>0$ であるから，$k=0$ でなければならない。すると $s=t$ であるが，$t<\dfrac{\pi}{2}$ だから $s\geqq \dfrac{\pi}{2}$ に反する。よってこの場合は不可能である。

**(ii)**

$s=2k\pi-t$ の場合

このとき

$$ \sin s=\sin(2k\pi-t)=-\sin t,\qquad \cos s=\cos(2k\pi-t)=\cos t $$

であるから，

$$ -\sin t-(2k\pi-t)\cos t=\sin t-t\cos t $$

を得る。整理すると

$$ t\cos t-\sin t=k\pi\cos t $$

である。ここで $\cos t>0$ より両辺を $\cos t$ で割ることができて，

$$ t-\tan t=k\pi $$

となる。

さらに $s=2k\pi-t\geqq \dfrac{\pi}{2}$ である。もし $k\leqq 0$ なら

$$ s=2k\pi-t\leqq -t<\frac{\pi}{2} $$

となって矛盾する。したがって $k$ は自然数である。よって

$$ t-\tan t=n\pi \qquad (n\in \mathbb{N}) $$

であり，$|t|<\dfrac{\pi}{2}$ をあわせると，（1） により $t=x_n$ である。

以上で必要性は示された。

逆に，$t=x_n$ であるとする。すると

$$ t-\tan t=n\pi $$

である。ここで

$$ s=2n\pi-t $$

とおくと，$t<\dfrac{\pi}{2}$ であるから

$$ s=2n\pi-t>\frac{\pi}{2} $$

である。

また

$$ \cos s=\cos(2n\pi-t)=\cos t $$

であり，さらに $t-\tan t=n\pi$ から

$$ \sin t-t\cos t=-n\pi\cos t $$

が従うので，

$$ \sin s-s\cos s =-\sin t-(2n\pi-t)\cos t =\sin t-t\cos t $$

となる。したがって

$$ \ell_s=\ell_t $$

である。すなわち，点 $P(t,\sin t)$ における接線は，$x=s\geqq \dfrac{\pi}{2}$ においても曲線 $C$ と接する。

よって十分性も示された。

以上より，求める必要十分条件は $t$ が $x_1,x_2,x_3,\dots$ のいずれかに等しいことである。

解説

（1） の本質は，$x-\tan x$ が区間 $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ で狭義単調減少し，しかも値域が全実数になることである。

（2） の本質は，「接線が一致する」という幾何的条件を，接線の式

$$ y=\cos u,x+\sin u-u\cos u $$

の係数比較に落とすことである。$\cos s=\cos t$ から $s=2k\pi\pm t$ に分かれ，$2k\pi+t$ の型は排除され，$2k\pi-t$ の型だけが残る。そのとき条件がちょうど

$$ t-\tan t=k\pi $$

になるので，（1） の結果と直結する。

答え

**(1)**

方程式

$$ x-\tan x=a $$

は，$|x|<\dfrac{\pi}{2}$ をみたす実数解をちょうど1個もつ。

**(2)**

曲線 $C:y=\sin x$ 上の点 $P(t,\sin t)$ における接線が，$x\geqq \dfrac{\pi}{2}$ の領域にある点でも $C$ と接するための必要十分条件は，

$$ t=x_n \quad (n=1,2,3,\dots) $$

すなわち

$$ t-\tan t=n\pi \quad (n\in\mathbb{N}),\qquad |t|<\frac{\pi}{2} $$

を満たすことである。