解説

方針・初手

関数

$$ f(x)=\cos x+\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 $$

は偶関数である。したがって、まず $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ での増減を調べれば十分である。

導関数と第2導関数を用いると、$f'(x)$ はいったん減少してから増加することが分かる。よって $f(x)$ は $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ で「いったん減少し、その後増加する」形になるので、最大値は端点 $x=0,\dfrac{\pi}{2}$ の比較で決まる。

解法1

$f(x)$ を微分すると

$$ f'(x)=-\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}x $$

であり、さらに

$$ f''(x)=-\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} $$

となる。

$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ において、$\cos x$ は単調減少するから、

• $0\leqq x<\dfrac{\pi}{6}$ では $\cos x>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より $f''(x)<0$
• $\dfrac{\pi}{6}<x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $\cos x<\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より $f''(x)>0$

である。

したがって、$f'(x)$ は $[0,\dfrac{\pi}{6}]$ で減少し、$[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}]$ で増加する。

ここで

$$ f'(0)=0 $$

であるから、$0<x\leqq \dfrac{\pi}{6}$ では $f'(x)<0$ となる。

また、

$$ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) =-1+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\pi}{2} =-1+\frac{\sqrt{3}\pi}{4} $$

であり、$\pi>3.1,\ \sqrt{3}>1.7$ より

$$ f'\left(\frac{\pi}{2}\right)

> -1+\frac{1.7\cdot 3.1}{4} > =-1+1.3175 > 0 > $$

となる。

よって、$f'(x)$ は $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ で負から正へ1回だけ符号を変える。したがって、$f(x)$ は $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ でいったん減少し、その後増加する。

ゆえに、$[0,\dfrac{\pi}{2}]$ における最大値は端点である $x=0,\ \dfrac{\pi}{2}$ のいずれかでとる。

実際に値を比べると、

$$

f(0)=1

$$

であり、

$$

f\left(\frac{\pi}{2}\right) =\cos\frac{\pi}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 =\frac{\sqrt{3}\pi^2}{16}

$$

である。

ここで $\pi>3.1,\ \sqrt{3}>1.7$ より

$$

f\left(\frac{\pi}{2}\right)

> \frac{1.7\cdot (3.1)^2}{16} > =\frac{1.7\cdot 9.61}{16} > =\frac{16.337}{16} > 1 > $$

となるから、

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right)>f(0) $$

である。

したがって、$[0,\dfrac{\pi}{2}]$ での最大値は $\dfrac{\sqrt{3}\pi^2}{16}$ である。

もとの区間 $-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $f(x)$ は偶関数であるから、最大値は $x=\pm \dfrac{\pi}{2}$ でとる。

解説

この問題の要点は、極値を与える点を方程式 $f'(x)=0$ で厳密に解こうとしないことである。

$f''(x)$ の符号から $f'(x)$ の増減を調べると、$f(x)$ が「いったん減少して、その後増加する」ことが分かる。そのため、最大値は内部の臨界点ではなく端点の比較に帰着できる。

最後に、与えられた $\pi>3.1,\ \sqrt{3}>1.7$ を使って

$$ \frac{\sqrt{3}\pi^2}{16}>1 $$

を示せば、$x=0$ よりも $x=\pm \dfrac{\pi}{2}$ の方が大きいと判断できる。

答え

最大値は

$$ \frac{\sqrt{3}\pi^2}{16} $$

であり、これは

$$ x=\pm \frac{\pi}{2} $$

のときにとる。