解説

方針・初手

共有点は

$$ \frac{\cos x}{x}=\sin x+ax $$

を満たす $x>0$ の個数に等しい。

これを $a$ について解くと

$$ a=\frac{\cos x-x\sin x}{x^2} $$

となる。したがって

$$ \phi(x)=\frac{\cos x-x\sin x}{x^2}\qquad (x>0) $$

とおけば，求める $a$ は，曲線 $y=\phi(x)$ と水平線 $y=a$ の交点がちょうど $3$ 個になるようなものである。よって $\phi(x)$ の増減と極値を調べればよい。

解法1

まず，$\phi(x)$ の導関数を求める。

$$ \begin{aligned} \phi'(x) &=\frac{(-2\sin x-x\cos x)x^2-2x(\cos x-x\sin x)}{x^4} \\ &=-\frac{(x^2+2)\cos x}{x^3}. \end{aligned} $$

$x>0$ では $\dfrac{x^2+2}{x^3}>0$ であるから，$\phi'(x)$ の符号は $-\cos x$ の符号と一致する。したがって，

• $\cos x>0$ の区間では $\phi(x)$ は減少
• $\cos x<0$ の区間では $\phi(x)$ は増加

する。

また，

$$ \lim_{x\to 0+}\phi(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to \infty}\phi(x)=0 $$

である。

次に，極値を与える点は $\cos x=0$，すなわち

$$ x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\qquad (n=0,1,2,\dots) $$

である。このとき

$$ \begin{aligned} \phi\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right) &= \frac{-\sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)}{\frac{(2n+1)\pi}{2}} \\ (-1)^{n+1}\frac{2}{(2n+1)\pi}. \end{aligned} $$

したがって最初の数値は

$$ \phi\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{2}{\pi},\qquad \phi\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\frac{2}{3\pi},\qquad \phi\left(\frac{5\pi}{2}\right)=-\frac{2}{5\pi},\qquad \phi\left(\frac{7\pi}{2}\right)=\frac{2}{7\pi} $$

となる。

よって $\phi(x)$ は

• $(0,\frac{\pi}{2})$ で $+\infty$ から $-\dfrac{2}{\pi}$ まで減少
• $(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$ で $-\dfrac{2}{\pi}$ から $\dfrac{2}{3\pi}$ まで増加
• $(\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2})$ で $\dfrac{2}{3\pi}$ から $-\dfrac{2}{5\pi}$ まで減少
• $(\frac{5\pi}{2},\frac{7\pi}{2})$ で $-\dfrac{2}{5\pi}$ から $\dfrac{2}{7\pi}$ まで増加

する。その後も同様に振動しながら $0$ に近づく。

ここで，水平線 $y=a$ との交点数を数える。

**(i)**

$a>\dfrac{2}{7\pi}$ のとき

$a<\dfrac{2}{3\pi}$ なら最初の 3 区間

$$ (0,\tfrac{\pi}{2}),\quad (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}),\quad (\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{5\pi}{2}) $$

でそれぞれ 1 回ずつ交わる。

さらに $a>\dfrac{2}{7\pi}$ なら，$\tfrac{7\pi}{2}$ 以降の極大値はすべて $\dfrac{2}{7\pi}$ 以下であるから，第 4 区間以降では交わらない。したがってこのとき交点はちょうど $3$ 個である。

よって

$$ \frac{2}{7\pi}<a<\frac{2}{3\pi} $$

が求まる。

なお，$a=\dfrac{2}{7\pi}$ では $x=\dfrac{7\pi}{2}$ でも交わるので交点は $4$ 個となり不適である。また $a=\dfrac{2}{3\pi}$ では $x=\dfrac{3\pi}{2}$ が極大点であり，交点は $2$ 個となる。

**(ii)**

$a\le 0$ のとき

まず $a\le -\dfrac{2}{\pi}$ なら，交点数は高々 $1$ 個である。

次に

$$ -\frac{2}{\pi}<a<-\frac{2}{5\pi} $$

では，最初の 2 区間でのみ交わるので交点は $2$ 個である。

さらに

$$ a=-\frac{2}{5\pi} $$

のときは，

• $(0,\frac{\pi}{2})$ で 1 個
• $(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$ で 1 個
• $x=\frac{5\pi}{2}$ で 1 個

となり，ちょうど $3$ 個である。

また

$$ -\frac{2}{5\pi}<a<0 $$

では，少なくとも最初の 4 区間で交わるので交点は $4$ 個以上となる。

したがって，負の値で条件を満たすのは

$$ a=-\frac{2}{5\pi} $$

のみである。

解説

この問題は，交点の個数を直接追うのではなく，

$$ a=\frac{\cos x-x\sin x}{x^2} $$

と変形して「水平線と 1 つの関数の交点数」の問題に直すのが本質である。

さらに，この関数の導関数が

$$ \phi'(x)=-\frac{(x^2+2)\cos x}{x^3} $$

と非常に簡単になるため，増減が $\cos x$ の符号だけで決まる。極値も $\cos x=0$ の点で明確に求まり，その値が

$$ -\frac{2}{\pi},\ \frac{2}{3\pi},\ -\frac{2}{5\pi},\ \frac{2}{7\pi},\dots $$

と交互に現れることから，交点数を正確に数えられる。

答え

$$ a=-\frac{2}{5\pi},\qquad \frac{2}{7\pi}<a<\frac{2}{3\pi} $$

である。