基礎問題集
数学3 微分法「最大最小・解の個数」の問題78 解説
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解説
方針・初手
最大値を求めるので，関数
$$ f(x)=xe^{-x} $$
を微分して増減を調べるのが基本方針である。
解法1
$$ f(x)=xe^{-x} $$
より，積の微分法を用いると
$$ f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x) $$
となる。
ここで，$e^{-x}>0$ はすべての実数 $x$ で成り立つから，$f'(x)$ の符号は $1-x$ の符号で決まる。
したがって，
- $x<1$ のとき $f'(x)>0$
- $x=1$ のとき $f'(x)=0$
- $x>1$ のとき $f'(x)<0$
である。
よって，$f(x)$ は $x=1$ まで増加し，$x=1$ から減少するので，$x=1$ で最大値をとる。
その値は
$$ f(1)=1\cdot e^{-1}=\frac{1}{e} $$
である。
解説
$e^{-x}$ は常に正であるため，微分係数 $f'(x)=e^{-x}(1-x)$ の符号判定が非常にしやすい。したがって，この問題は「微分して増減を調べる」典型問題である。
答え
$$ \frac{1}{e} $$