解説

方針・初手

半円の中心を $O$ とすると，$\angle PAB=\theta$ は弧 $PB$ に対する円周角であるから，中心角 $\angle POB=2\theta$ と分かる。したがって，$T(\theta)$ は扇形と三角形に分けて求められる。

また，折り重ねたときの重なり部分 $S(\theta)$ は，半円内のある部分を $AP$ に関して折り返した像として見れば，面積保存により $T(\theta),T(2\theta)$ で表せる。

解法1

**(1)**

半円の中心を $O$ とする。

$\angle PAB=\theta$ より，弧 $PB$ に対する中心角は

$$ \angle POB=2\theta $$

である。

求める部分は，三角形 $AOP$ と扇形 $POB$ の和になっている。

まず，扇形 $POB$ の面積は半径 $1$，中心角 $2\theta$ であるから

$$ \frac12\cdot 1^2\cdot 2\theta=\theta $$

である。

次に，$\angle AOP=\pi-2\theta$ であり，$OA=OP=1$ だから，三角形 $AOP$ の面積は

$$ \frac12\cdot OA\cdot OP\cdot \sin\angle AOP =\frac12\sin(\pi-2\theta) =\frac12\sin2\theta $$

である。

よって，

$$ T(\theta)=\theta+\frac12\sin2\theta $$

となる。

**(2)**

半円周上に点 $Q$ を

$$ \angle QAB=2\theta $$

となるようにとる。

このとき，$T(2\theta)$ は直径 $AB$，弦 $AQ$，弧 $QB$ で囲まれる部分の面積である。したがって，

$$ T(2\theta)-T(\theta) $$

は，弦 $AQ$，弦 $AP$，弧 $QP$ で囲まれる部分の面積に等しい。

ここで，$\angle QAP=\theta,\ \angle PAB=\theta$ であるから，直線 $AP$ は $\angle QAB$ の二等分線である。よって，この弦 $AQ$・弧 $QP$ で囲まれた部分を $AP$ を軸として折り返すと，ちょうど図の重なり部分 $S(\theta)$ に移る。

折り返しでは面積は保存されるから，

$$ S(\theta)=T(2\theta)-T(\theta) $$

である。

**(3)**

（1） より

$$ T(\theta)=\theta+\frac12\sin2\theta $$

であるから，

$$ S(\theta)=T(2\theta)-T(\theta) =2\theta+\frac12\sin4\theta-\theta-\frac12\sin2\theta $$

すなわち

$$ S(\theta)=\theta+\frac12\sin4\theta-\frac12\sin2\theta $$

となる。

これを微分すると，

$$ S'(\theta)=1+2\cos4\theta-\cos2\theta $$

である。

ここで

$$ x=\cos2\theta \qquad \left(0<\theta<\frac{\pi}{4}\ \Rightarrow\ 0<x<1\right) $$

とおくと，

$$ \cos4\theta=2\cos^22\theta-1=2x^2-1 $$

より，$S'(\theta)=0$ は

$$ 1+2(2x^2-1)-x=0 $$

すなわち

$$ 4x^2-x-1=0 $$

となる。

これを解くと，

$$ x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{8} $$

である。$0<x<1$ であるから，

$$ x=\frac{1+\sqrt{17}}{8} $$

を採用する。

したがって，$S(\theta)$ が最大となるとき $\theta=\alpha$ とすると，

$$ \cos2\alpha=\frac{1+\sqrt{17}}{8} $$

である。

なお，$S'(\theta)$ は $\theta\to 0$ で正，$\theta=\dfrac{\pi}{4}$ で負となるので，この臨界点で最大値を与える。

解説

この問題の核心は，$T(\theta)$ を無理に積分で求めず，円周角と中心角の関係から扇形と三角形に分けることである。

また，（2） は図形の折り返しによる面積保存を見る問題であり，$T(2\theta)-T(\theta)$ が「弦 $AQ$，弦 $AP$，弧 $QP$ で囲まれる部分」に対応することをつかめるかが重要である。ここで $AP$ が $\angle QAB$ の二等分線になるため，その部分がちょうど重なり部分に折り移る。

（3） では （2） の結果を使えば，$S(\theta)$ を一変数関数として微分するだけで済む。最後は $\cos4\theta=2\cos^22\theta-1$ を用いて二次方程式に落とすのが典型的である。

答え

**(1)**

$$ T(\theta)=\theta+\frac12\sin2\theta $$

**(2)**

$$ S(\theta)=T(2\theta)-T(\theta) $$

**(3)**

$$ \cos2\alpha=\frac{1+\sqrt{17}}{8} $$